Giải bài thi chọn HGS Toán Hà Nội năm học 2021-2022

Điều kiện $x\geqslant \dfrac12$.

$\sqrt{x+1}+\sqrt{3x}=\sqrt{2x+2}+\sqrt{2x-1}$

$\Leftrightarrow 4x+1+2\sqrt{3x^2+3x}=4x+1+2\sqrt{4x^2+2x-2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3x^2+3x}=\sqrt{4x^2+2x-2}$

$\Leftrightarrow x^2-x-2=0 \Leftrightarrow x=-1\ \text{(loại)}$ hay $x=2$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất $x=2$.

Điều kiện $x\geqslant 1 ; y\geqslant 0$.

$(1)\Leftrightarrow \left(x-\dfrac52\right)^2+4\sqrt{x-1}-\dfrac94=\left(y-\dfrac32\right)^2+4\sqrt{y}-\dfrac94 \quad (3)$

Hàm số $f(t)=t^2+4\sqrt{t+\dfrac32}-\dfrac94$ $\left(t\geqslant -\dfrac32\right)$ là hàm số đồng biến nên phương trình  (3) có dạng:

$f(u)=f(v)$ với $u=x-\dfrac52, v=y-\dfrac32$

Do đó $u=v \Leftrightarrow y=x-1$.

Thay vào (2) ta có $x^2+(x-1)^2=5\Leftrightarrow x^2-x-2=0\Leftrightarrow x=2$ (chú ý điều kiện $x \geqslant 1$).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\lbrace\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$
 
 

Xét hàm số $y=\dfrac{x^2+mx-1}{x^2+2x+3}$.
 
Ta thấy ngay đồ thị hàm số có hai giao điểm với trục hoành.

Đạo hàm $y’=\dfrac{(2-m)x^2+8x+3m+2}{(x^2+2x+3)^2}$.

Với $m\ne 2, \Delta’=16+(m-2)(3m+2)=3m^2-4m+12>0$.

Do đó hàm số có hai điểm cực trị.

Vậy hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).