HSG Casio THCS

Bài toán. Tìm dư của phép chia số $\underbrace{1111…111}_{2026 \ \text{chữ số}\ 1 }$ cho $2025$.   Đây là một bài toán khó đối với học sinh lớp 9. Vì $2025$ là tích của hai số nguyên tố cùng nhau $25$ và $81$ nên ta tìm dư của A cho $25$ vào cho $81$ sau …

Đặt vấn đề. Khi ta gặp một số rất lớn (chẳng hạn $8788763$) rất khó để phân tích ra thừa số nguyên tố . Máy tính cầm tay là một trong công cụ thực hiện việc phân tích này, thông qua chức năng lập bảng giá trị cho hai hàm số. Ta chọn số nguyên …

Công thức. Cho tam giác $ABC$, đường phân giác trong $AD$. Đặt $BC=a, AB=c, AC=b$. Ta có công thức: $$AD^2=bc\left[1-\dfrac{a^2}{(b+c)^2}\right]$$   Chứng minh. Từ định lý hàm cos áp dụng vào các tam giác $ABD$ và $ACD$ ta suy ra: $\left.\begin{array}{l}\cos \dfrac{A}{2}=\dfrac{AB^2+AD^2-BD^2}{2AB.AD}\\ \cos \dfrac{A}{2}=\dfrac{AC^2+AD^2-CD^2}{2AC.AD}\end{array} \right\rbrace \Rightarrow AC(AB^2+AD^2-BD^2)=AB(AC^2+AD^2-CD^2)$. Do đó: $AD^2=\dfrac{AB.AC^2-AC.AB^2+AC.BD^2-AB.CD^2}{AC-AB}\qquad (1)$ Ta lại có $BD=BC.\dfrac{AB}{AB+AC}$ …

Đặt $x=2^{2024^{2025}}$.   Bước 1: Chia nhỏ $2025$ bằng cách phân tích $2025$ thành tích của hai số nguyên tố cùng nhau. Ở đây $2025=25\times 81$. Ta giải hai bài toán: Tìm A và tìm B sao cho $x \equiv A\ (\text{mod}\ 81 )$ và $x \equiv B\ (\text{mod}\ 125 )$   Bước 2. $\boldsymbol{x …

Bài toán Tìm dư của phép chia số $2027^{2025^{2023}}$ cho $2021$.   Vì $2027 \equiv 6 \ (\text{mod}\ 2021 )$ nên ta chỉ cần tìm dư của phép chia số $6^{2025^{2023}}$ cho $2021$. Ta có: nên ta tìm dư của $x=6^{2025^{2023}}$ cho $43$ và cho $47$ sau đó sử dụng định lý phần dư Trung …

Bài toán. Trên Cộng đồng giáo viên Casio, đặt ra một bài toán rất hay, đó là Tìm 3 chữ số tận cùng của số $2013^{2014^{2015}}$.   Các thầy cô đã đưa ra phương pháp giải và đáp số. Chúng tôi tổng hợp lại thành một bài toán mang tính chất giáo khoa để học …

Bài toán. Tìm dư của phép chia số $\underbrace{1111…111}_{2026 \ \text{chữ số}\ 1 }$ cho $2025$.   Đây là một bài toán khó đối với học sinh lớp 9. Vì $2025$ là tích của hai số nguyên tố cùng nhau $25$ và $81$ nên ta tìm dư của A cho $25$ vào cho $81$ sau …

Đặt vấn đề. Khi ta gặp một số rất lớn (chẳng hạn $8788763$) rất khó để phân tích ra thừa số nguyên tố . Máy tính cầm tay là một trong công cụ thực hiện việc phân tích này, thông qua chức năng lập bảng giá trị cho hai hàm số. Ta chọn số nguyên …

Công thức. Cho tam giác $ABC$, đường phân giác trong $AD$. Đặt $BC=a, AB=c, AC=b$. Ta có công thức: $$AD^2=bc\left[1-\dfrac{a^2}{(b+c)^2}\right]$$   Chứng minh. Từ định lý hàm cos áp dụng vào các tam giác $ABD$ và $ACD$ ta suy ra: $\left.\begin{array}{l}\cos \dfrac{A}{2}=\dfrac{AB^2+AD^2-BD^2}{2AB.AD}\\ \cos \dfrac{A}{2}=\dfrac{AC^2+AD^2-CD^2}{2AC.AD}\end{array} \right\rbrace \Rightarrow AC(AB^2+AD^2-BD^2)=AB(AC^2+AD^2-CD^2)$. Do đó: $AD^2=\dfrac{AB.AC^2-AC.AB^2+AC.BD^2-AB.CD^2}{AC-AB}\qquad (1)$ Ta lại có $BD=BC.\dfrac{AB}{AB+AC}$ …

Đặt $x=2^{2024^{2025}}$.   Bước 1: Chia nhỏ $2025$ bằng cách phân tích $2025$ thành tích của hai số nguyên tố cùng nhau. Ở đây $2025=25\times 81$. Ta giải hai bài toán: Tìm A và tìm B sao cho $x \equiv A\ (\text{mod}\ 81 )$ và $x \equiv B\ (\text{mod}\ 125 )$   Bước 2. $\boldsymbol{x …

Bài toán Tìm dư của phép chia số $2027^{2025^{2023}}$ cho $2021$.   Vì $2027 \equiv 6 \ (\text{mod}\ 2021 )$ nên ta chỉ cần tìm dư của phép chia số $6^{2025^{2023}}$ cho $2021$. Ta có: nên ta tìm dư của $x=6^{2025^{2023}}$ cho $43$ và cho $47$ sau đó sử dụng định lý phần dư Trung …

Bài toán. Trên Cộng đồng giáo viên Casio, đặt ra một bài toán rất hay, đó là Tìm 3 chữ số tận cùng của số $2013^{2014^{2015}}$.   Các thầy cô đã đưa ra phương pháp giải và đáp số. Chúng tôi tổng hợp lại thành một bài toán mang tính chất giáo khoa để học …