HSG Casio THCS

Tìm số [latex]N[/latex] có 14 chữ số, biết rằng $N$ chia 7741 dư 2017, chia 2017 dư 2013, chia 2013 dư 2011. Bài giải Vì các số [latex]7741,\,2017,\,2013[/latex] đôi một nguyên tố cùng nha, nên ta đi giải hệ phương trình đồng dư sau: $$\begin{cases} x\equiv2017 & \text{mod}\,7741\\ x\equiv2013 & \text{mod}\,2017\\ x\equiv2011 & \text{mod}\,2013 \end{cases}\,\,\,(I)$$ …

Bài toán: Hai người công nhân cùng làm việc trong 18 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 6 giờ và người thứ hai làm 12 giờ thì chỉ hoàn thành được 50% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu? (Trích câu 4 kì …

Đề bài: Tìm tất cả các số tự nhiên [latex]n[/latex] trong khoảng [latex]1000;\,10000000[/latex] sao cho số: [latex]B=\sqrt[4]{22122010+6n}[/latex] là một số tự nhiên. (Trích Đề thi Giải toán trên máy tính cầm tay Quốc gia năm 2013) Bài giải Ta có: [latex]B^4=22122010+6n[/latex] và [latex]1000\leq n\leq 10000000[/latex] nên: [latex]22122010+6000\leq 22122010 +6n=B^4\leq 60000000+22122010[/latex] [latex]\Leftrightarrow 69\leq B\leq 95[/latex] Mà [latex]B=\sqrt[4]{22122010+6n}\Leftrightarrow …

Tìm dư của phép chia ${234567891^{12}}$ cho $123456789$ Áp dụng ${{(a+b)}^{n}}\equiv {{b}^{n}}\text{ }\left( \bmod m \right)$ với $a\vdots m$ Giải bài toán trên: Tính $234567891\equiv 111111102(\bmod 123456789)\text{ }$ Vậy ${{234567891}^{12}}\equiv {{111111102}^{12}}(\bmod 123456789)\text{ }$ Mà $\begin{array}{l} {111111102^2}\\ = {\left( {111111100 + 2} \right)^2}\\ = {111111100^2} + 444444400 + 4\\ = 12345676543210000 + 444444404\\ \Rightarrow {111111102^2} = …

Bài toán: Cho dãy số [latex]{a_n}[/latex] được xác định như sau: [latex]a_1=1; a_2=3[/latex] và [latex]a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+1[/latex] ( [latex]n[/latex] là số nguyên dương) a)Viết qui trình ấn phím liên tục tính [latex]a_n[/latex]. b) Tính [latex]a_{15}, a_{20},a_{30}[/latex]. c) Chứng minh rằng [latex]A=4a_n.a_{n+2}+1[/latex] là số chính phương. Bài giải a/ Chuyển dãy số về dạng: [latex]\left\{ \begin{array}{l} {a_1} = 1;{a_2} …

Đề bài: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: [latex]7(x^2y+x+xy^2)=38xy-14y+38[/latex] Bài giải Cách 1: Biểu diễn [latex]x[/latex] theo [latex]y[/latex]: Bước 1: Biến đổi phương trình ban đầu về phương trình bậc 2 ẩn [latex]x[/latex], tham số [latex]y[/latex]: [latex]7yx^2+(7+7y^2-38y)x+14y-38[/latex] Bước 2: Tính biệt thức [latex]\Delta[/latex]: [latex]\Delta = (7+7y^{2}-38y)^{2}-4.7y(14y-38)[/latex] Khai triển [latex]\Delta[/latex] ra cũng được nhưng theo mình …

Tìm số [latex]N[/latex] có 14 chữ số, biết rằng $N$ chia 7741 dư 2017, chia 2017 dư 2013, chia 2013 dư 2011. Bài giải Vì các số [latex]7741,\,2017,\,2013[/latex] đôi một nguyên tố cùng nha, nên ta đi giải hệ phương trình đồng dư sau: $$\begin{cases} x\equiv2017 & \text{mod}\,7741\\ x\equiv2013 & \text{mod}\,2017\\ x\equiv2011 & \text{mod}\,2013 \end{cases}\,\,\,(I)$$ …

Bài toán: Hai người công nhân cùng làm việc trong 18 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 6 giờ và người thứ hai làm 12 giờ thì chỉ hoàn thành được 50% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu? (Trích câu 4 kì …

Đề bài: Tìm tất cả các số tự nhiên [latex]n[/latex] trong khoảng [latex]1000;\,10000000[/latex] sao cho số: [latex]B=\sqrt[4]{22122010+6n}[/latex] là một số tự nhiên. (Trích Đề thi Giải toán trên máy tính cầm tay Quốc gia năm 2013) Bài giải Ta có: [latex]B^4=22122010+6n[/latex] và [latex]1000\leq n\leq 10000000[/latex] nên: [latex]22122010+6000\leq 22122010 +6n=B^4\leq 60000000+22122010[/latex] [latex]\Leftrightarrow 69\leq B\leq 95[/latex] Mà [latex]B=\sqrt[4]{22122010+6n}\Leftrightarrow …

Tìm dư của phép chia ${234567891^{12}}$ cho $123456789$ Áp dụng ${{(a+b)}^{n}}\equiv {{b}^{n}}\text{ }\left( \bmod m \right)$ với $a\vdots m$ Giải bài toán trên: Tính $234567891\equiv 111111102(\bmod 123456789)\text{ }$ Vậy ${{234567891}^{12}}\equiv {{111111102}^{12}}(\bmod 123456789)\text{ }$ Mà $\begin{array}{l} {111111102^2}\\ = {\left( {111111100 + 2} \right)^2}\\ = {111111100^2} + 444444400 + 4\\ = 12345676543210000 + 444444404\\ \Rightarrow {111111102^2} = …

Bài toán: Cho dãy số [latex]{a_n}[/latex] được xác định như sau: [latex]a_1=1; a_2=3[/latex] và [latex]a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+1[/latex] ( [latex]n[/latex] là số nguyên dương) a)Viết qui trình ấn phím liên tục tính [latex]a_n[/latex]. b) Tính [latex]a_{15}, a_{20},a_{30}[/latex]. c) Chứng minh rằng [latex]A=4a_n.a_{n+2}+1[/latex] là số chính phương. Bài giải a/ Chuyển dãy số về dạng: [latex]\left\{ \begin{array}{l} {a_1} = 1;{a_2} …

Đề bài: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: [latex]7(x^2y+x+xy^2)=38xy-14y+38[/latex] Bài giải Cách 1: Biểu diễn [latex]x[/latex] theo [latex]y[/latex]: Bước 1: Biến đổi phương trình ban đầu về phương trình bậc 2 ẩn [latex]x[/latex], tham số [latex]y[/latex]: [latex]7yx^2+(7+7y^2-38y)x+14y-38[/latex] Bước 2: Tính biệt thức [latex]\Delta[/latex]: [latex]\Delta = (7+7y^{2}-38y)^{2}-4.7y(14y-38)[/latex] Khai triển [latex]\Delta[/latex] ra cũng được nhưng theo mình …