BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Bảng Hoocner - Bảng Taylor
- 24/10/2017
- 1,353 lượt xem
Chủ đề Bảng Hoocner - Bảng Taylor
Đề bài: Viết đa thức $Q(x)=x^7-10x^6+36x^5-52x^4+16x^3+2005x^2-7957x+9964$ dưới dạng lũy thừa của nhị thức bậc nhất $x-2$.
Lời giải:
Tìm các hệ số:
$Q(x)=a_1 (x-2)^7+a_2 (x-2)^6 + a_3 (x-2)^5 + a_4 (x-2)^4 +a_5(x-2)^3 + a_6 (x-2)^2+a_7 (x-2)+a_8 $.
Công thức tổng quát cho dạng bài này:
Bước 1: Tìm $a_8=P(2)=2006$.
Tìm $a_1$: Dễ thấy $a_1=1$.
Bước 2: Tìm $a_7;\,a_2$:
+ $a_7$ tìm bằng cách tính giá trị biểu thức sau tại $x=2$.
$a_7=\dfrac{P(x)-2006}{x-2}(2)=-1$
Khi đó ta được đa thức:
$\dfrac{P(x)-2006}{x-2}-a_1(x-2)^6-a_7=4x^5-40x^4+148x^3-248x^2+2181x-4042$
Hệ số cao nhất của đa thức này (gọi là đa thức $R(x)$): $a_2=4$.
Bước 3: Tính $a_6;\, a_3$:
+ $a_6$ tìm bằng cách tính giá trị biểu thức sau tại $x=2$.
$a_7=\dfrac{R(x)}{x-2}(2)=2005$
Khi đó ta được đa thức thức:
Thực hiện việc tính toán tương tự, ta được đa thức:
$Q(x)=(x-2)^7+4(x-2)^6-12(x-2)^4+2005(x-2)^2-(x-2)+2006$
Cách 2: Dùng khai triển Taylor (Taylor expansion):
Định lý: Nếu hàm số $y=f(x)$ có các đạo hàm $f’(x),\,f’’(x),\, …,\, f^{(n)}(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ và có đạo hàm $ f^{(n+1)}(x)$ trong lân cận của $x_0$ thì tại lân cận đó ta có công thức khai triển:
$ \begin{array}{ccc} f(x) & = & f\left(x_{0}\right)+\dfrac{f’\left(x_{0}\right)}{1!}\left(x-x_{0}\right)+\dfrac{f”\left(x_{0}\right)}{2!}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\,…\\ & & +\dfrac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n+1} \end{array}$
Với $c\in \left(x_{0};\,x\right);\,c=x_{0}+a\left(x-x_{0}\right),\,0<a<1$.
Với công này ta có thể giải nhanh bài toán trên. Với đạo hàm cấp 8 thì số hạng dư không còn nên ta không để ý tới số hạng dư này nữa.
Bước 1: Tìm $a_{1}$:
$ a_{1}=\dfrac{f^{7}\left(x_{0}\right)}{7!}=\dfrac{7!}{7!}=1$
Bước 2: Tìm $a_{2}$:
$a_{2}=\dfrac{f^{6}\left(x_{0}\right)}{6!}=\dfrac{\left[7!x-10.6!\right](2)}{6!}=4$
Bước 3: Tìm $a_{3}$:
$a_{3}=\dfrac{f^{5}\left(x_{0}\right)}{5!}=\dfrac{\left[7.6.5.4.3x^{2}-10.6!x+36.5!\right](2)}{5!}=0$
Bước 4: Tìm $a_{4}$:
$ a_{4}=\dfrac{f^{4}\left(x_{0}\right)}{4!}=\dfrac{\left[7.6.5.4x^{3}-10.6.5.4.3.x^{2}+36.5!.x-52.4!\right](2)}{4!}=\dfrac{-288}{4!}=-12$
Ta nhìn thấy ngay công thức Tổ hợp – chỉnh hợp
Bước 5: Tìm $a_{5}$:
$ a_{5}=C_{7}^{4}.2^{4}-10.C_{6}^{3}.2^{3}+36.C_{5}^{2}.2^{2}-52C_{4}^{1}.2+16C_{3}^{0}=0$
Bước 6: Tìm $a_{6}$:
$a_{6}=C_{7}^{5}.2^{5}-10.C_{6}^{4}.2^{4}+36.C_{5}^{3}.2^{3}-52C_{4}^{2}.2^{2}+16C_{3}^{1}.2+2005.C_{2}^{0}=2005$
Bước 7: Tìm $a_{7}$:
$ a_{7}=C_{7}^{6}.2^{6}-10.C_{6}^{5}.2^{5}+36.C_{5}^{4}.2^{4}-52C_{4}^{3}.2^{3}+16C_{3}^{2}.2^{2}+2005.C_{2}^{1}+C_{1}^{0}=-1$
Bước 8: Tìm $a_{8}$:
$a_{8}=f(2)=2006$.
Ta cũng có bảng sau:
About TailieuCasio
