Tìm dư của phép chia số $(3+2\sqrt2)^{2027}+(3-2\sqrt2)^{2027}$ cho $2030$

Ta thấy $2030=10\times 7\times 29$
 
Đặt $f(x)=(3+2\sqrt2)^{x}+(3-2\sqrt2)^{x}$. Ta sẽ tìm dư của phép chia $f(2027)$ lần lượt cho $10, 7, 29$, sau đó dùng định lý Phần Dư Trung Hoa.
 
Đặt $g(x)=f(x)-m \text{Int}\dfrac{f(x)}{m}, (m=10, 7, 29)$ (xác định dư của phép chia $f(x)$ cho $m$).
 

 

Với $m=10$ . Ta thấy $g(x)$ tuần hoàn với chu kỳ $6$ và . Vậy $f(2027) \equiv f(5)=6 \quad (\text{mod}\ 10)$.
 
Thay $m=7$
 
Ta thấy $g(x)$ tuần hoàn với chu kỳ $3$ và nên $f(x) \equiv f(2)=6 \quad (\text{mod}\ 7) $.
 
Thay $m=29$
 
Ta thấy $g(x)$ tuần hoàn với chu kỳ $10$ và nên $f(x) \equiv f(7)=24 \quad (\text{mod}\ 29) $.
 
Ta có hệ phương trình đồng dư $$\left\lbrace\begin{array}{ll}f(2027)\equiv 6 & \quad (\text{mod}\ 10)\\
f(2027)\equiv 6 & \quad (\text{mod}\ 7)\\
f(2027)\equiv 24 & \quad (\text{mod}\ 29)\end{array} \right. $$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $$f(2027)\equiv 6\times (7\times 29)z_1+6\times (10\times 29)z_2+24\times (7\times 10)z_3 \quad (\text{mod}\ 2030)$$

trong đó $z_1, z_2, z_3$ lần lượt là nghịch đảo của $7\times 29, 10\times 29, 7\times 10$ tương ứng với mô-đu-lô $10, 7, 29$.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).