Toán THPT

  Đây là bài toán dành cho học sinh có học lực khá-giỏi thuộc lớp 12. MTCT là công cụ hỗ trợ để các em hoàn thành bài toán này một cách thông minh.     Ta có $x=120+y+70+60=400$ nên $x+y=150$. Do đó tần số tích lũy lần lượt là $x, x+120, x+120+y=270, 270+70=340, 340+60=400$ …

    Trước hết ta giải phương trình $\displaystyle C^1_n+2C^2_n+2^2C^3_n+\dots +2^{n-1}C^{n-1}_n=3280$ để tìm $n$. Phương trình trên tương đương với phương trình sau đây: $$2^1C^1_n+2^2C^2_n+2^3C^3_n+\dots +2^{n}C^{n}_n=6560$$ Ta biết rằng $\displaystyle (1+2)^n=\sum_{m=0}^{n}C^m_n2^m=\underbrace{2^0C^0_n}_{=1}+\underbrace{2^1C^1_n+2^2C^2_n+2^3C^3_n+\dots +2^{n}C^{n}_n}_{=6560}$ . Do đó $n=8$.   $\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{8}(1+kx)^k=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots +a_8x^8$ Vậy $\displaystyle a_0+a_1+a_2+a_3+\dots +a_8=f(1)=\sum_{k=1}^{8}(1+k)^k$ .   Tóm lại: $S=$

    Câu 2: Ngoài lời giải truyền thống, ta sẽ sử dụng thuần túy MTCT như sau: Nhập VT của phương trình vào biến nhớ $\boldsymbol{f(x)}$. Mở Solver nhập phương trình, ra lệnh giải phương trình, lưu nghiệm vào A. Mở lại phương trình , viết thêm vào phương trình thành $\dfrac{f(x)}{x-A}$, ra lệnh …

Đặt vấn đề. Nhiều bài toán hình học phẳng đã được nâng lên thành bài toán hình học không gian với cùng chủ đề.   Ví dụ 1.   Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Ta có $$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}.$$   Cho khối tứ diện vuông $ABCD$ (các cạnh qua $A$ vuông góc …

    a) $P=1+5+5^2+\dots +5^{2026}$.   Ta thấy $P$ là tổng của một cấp số nhân $u_1=1, 5=5, n=2027$. Do đó $$P=\dfrac{5^{2027}-1}{5-1}$$ Suy ra $\log P=\log\left(5^{2017}-1\right)-\log 4$. $\log\left(5^{2017}-1\right)\approx \log\left(5^{2017}\right)=2017\log 5.$ (sai số của phép xấp xỉ này rất nhỏ (xem tính toán ở dưới) không làm ảnh hưởng tới phần nguyên của $\log P$. $\log …

  Ta có nhận xét $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x}-x-2\log x=-f(x)$. Vậy $f\left(\dfrac{1}{2025\sin x+2026}\right)+f(2025\cos 3x+2026)=0 \Leftrightarrow f(2025\sin x+2026)=f(2025\cos 3x+2026)$ Do $f$ là hàm số đơn điệu tăng (đạo hàm luôn luôn dương) nên phương trình tương đương với phương trình $2025\cos 3x+2026=2025\sin x ⇔ \cos 3x=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) ⇔ \left[\begin{array}{ll}x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}&(1)\\ x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi&(2) \end{array} \right. $ Trên đoạn $[0;2\pi]$, phương trình (1) …

  Đây là bài toán dành cho học sinh có học lực khá-giỏi thuộc lớp 12. MTCT là công cụ hỗ trợ để các em hoàn thành bài toán này một cách thông minh.     Ta có $x=120+y+70+60=400$ nên $x+y=150$. Do đó tần số tích lũy lần lượt là $x, x+120, x+120+y=270, 270+70=340, 340+60=400$ …

    Trước hết ta giải phương trình $\displaystyle C^1_n+2C^2_n+2^2C^3_n+\dots +2^{n-1}C^{n-1}_n=3280$ để tìm $n$. Phương trình trên tương đương với phương trình sau đây: $$2^1C^1_n+2^2C^2_n+2^3C^3_n+\dots +2^{n}C^{n}_n=6560$$ Ta biết rằng $\displaystyle (1+2)^n=\sum_{m=0}^{n}C^m_n2^m=\underbrace{2^0C^0_n}_{=1}+\underbrace{2^1C^1_n+2^2C^2_n+2^3C^3_n+\dots +2^{n}C^{n}_n}_{=6560}$ . Do đó $n=8$.   $\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{8}(1+kx)^k=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots +a_8x^8$ Vậy $\displaystyle a_0+a_1+a_2+a_3+\dots +a_8=f(1)=\sum_{k=1}^{8}(1+k)^k$ .   Tóm lại: $S=$

    Câu 2: Ngoài lời giải truyền thống, ta sẽ sử dụng thuần túy MTCT như sau: Nhập VT của phương trình vào biến nhớ $\boldsymbol{f(x)}$. Mở Solver nhập phương trình, ra lệnh giải phương trình, lưu nghiệm vào A. Mở lại phương trình , viết thêm vào phương trình thành $\dfrac{f(x)}{x-A}$, ra lệnh …

Đặt vấn đề. Nhiều bài toán hình học phẳng đã được nâng lên thành bài toán hình học không gian với cùng chủ đề.   Ví dụ 1.   Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Ta có $$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}.$$   Cho khối tứ diện vuông $ABCD$ (các cạnh qua $A$ vuông góc …

    a) $P=1+5+5^2+\dots +5^{2026}$.   Ta thấy $P$ là tổng của một cấp số nhân $u_1=1, 5=5, n=2027$. Do đó $$P=\dfrac{5^{2027}-1}{5-1}$$ Suy ra $\log P=\log\left(5^{2017}-1\right)-\log 4$. $\log\left(5^{2017}-1\right)\approx \log\left(5^{2017}\right)=2017\log 5.$ (sai số của phép xấp xỉ này rất nhỏ (xem tính toán ở dưới) không làm ảnh hưởng tới phần nguyên của $\log P$. $\log …

  Ta có nhận xét $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x}-x-2\log x=-f(x)$. Vậy $f\left(\dfrac{1}{2025\sin x+2026}\right)+f(2025\cos 3x+2026)=0 \Leftrightarrow f(2025\sin x+2026)=f(2025\cos 3x+2026)$ Do $f$ là hàm số đơn điệu tăng (đạo hàm luôn luôn dương) nên phương trình tương đương với phương trình $2025\cos 3x+2026=2025\sin x ⇔ \cos 3x=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) ⇔ \left[\begin{array}{ll}x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}&(1)\\ x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi&(2) \end{array} \right. $ Trên đoạn $[0;2\pi]$, phương trình (1) …