Số các ước của một số tự nhiên

Sau khi phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố ta thường gặp câu hỏi:
 

Sau đây là cách trả lời câu hỏi. Giả sử một số nguyên dương $$A=a_1^{m_1}\cdot a_2^{m_2}\cdots a_n^{m_m}$$ trong đó các số $a_1, a_2, \cdots, a_n$ là các thừa số nguyên tố.

Khi đó số các ước nguyên dương của $A$ sẽ bằng $\fbox{$(m_1+1)\cdot (m_2+1)\cdots (m_n+1)$}$.
 

Và tổng của tất cả các ước nguyên dương của $A$ sẽ bằng tích của các thừa số dạng $\dfrac{a_i^{m_i+1}-1}{a_i-1}$ (với $i=1,2,\cdots, n$).
 

Trở lại bài toán: Ta có .
 

Suy ra $A=83151900^n=2^{2n}\cdot 3^{3n}\cdot 5^{2n}\cdot 13^{n}\cdot 23^{n}\cdot 103^{n}$. Do đó số tất cả các ước của số $A$ bằng $(2n+1)^2(3n+1)(n+1)^3$.

Theo đề bài ta có: $(2n+1)^2(3n+1)(n+1)^3=5267025$ .
 

Vậy $\boldsymbol{n=8}.$

Bây giờ ta tìm tổng tất cả các ước của số
 
Theo công thức ở trên, tổng này sẽ bằng:

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).