Tài liệu THPT

    $\overrightarrow{AB}=(1;2;0), \overrightarrow{CD}=(0;1;1)$. Phương trình đoạn thẳng $AB$ $\left\lbrace\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=1\end{array} \right. \quad (t \in [0;1])$. Suy ra $M(1+t;1+2t;1) \ (t \in [0;1])$. Phương trình đoạn thẳng $CD$ $\left\lbrace\begin{array}{l}x=3\\ y=1+u\\ z=3+u\end{array} \right. \quad (u \in [0;1])$. Suy ra $N(3;1+u;3+u)\ (u \in [0;1])$. Khi đó $MN^2=f(t,u)=(2-t)^2+(u-2t)^2+(2+u)^2$. Ta xem $f(t,u)$ như là một tam thức bậc …

Bài toán. Cho parabol $(P): y=x^2-4x+3$ và đường tròn $(C): (x-6)^2+(y+1)^2=1$. Tìm khoảng cách ngắn nhất của đoạn $MN$ trong đó $M, N$ là hai điểm lần lượt chay trên $(P)$ và $(C)$.   Thay vì dùng pháp tuyến đi qua tâm nhưu trong buổi học online tối 1/3/2026 ta dùng phương pháp trực quan …

Bài toán mẫu. Cho hai parabol $(P_1): y=x^2-4x+3\ ; (P_2): y=-(x-5)^2$. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm $M$ và $N$, trong đó $M, N$ là hai điểm lần lượt chạy trên $(P_1)$ và $(P_2)$.   Trong buổi học online thầy đã tính được $ MN^2=(7-2m)^2+(-2m^2+8m-7)^2$. Xét hàm số $f(x)=(7-2x)^2+(-2x^2+8x-7)^2$. Đây là hàm số …

Bài toán Cho hai hình tròn cắt nhau lần lượt có tâm và bán kính là $(O,r)$ và $(I,R)$. Ta có công thức sau đây tìm diện tích phần chung của hai hình tròn này theo 2 trường hợp.   Trường hợp 1. Tâm đường tròn này không nằm trong đường tròn kia.   Chuyển …

Bài toán. Tìm một đa thức $P(x)$ bậc 4 sao cho khi chia $P(x)$ cho $x^2+5$ dư $-14x+91$, chia $P(x)$ cho $x^2-9$ dư $28x+343$ và $P(9)=28603.$     Các bạn đọc Định lý phần dư Trung Hoa (CRT) tại đây.     Vì $x^2+5$ và $x^2-9$ nguyên tố cùng nhau nên theo định lý phần …

Bổ sung 1. Trong buổi học Online nghày 8/2/2026 thầy đã dùng hệ phương trình để giải bài toán tìm đa thức bậc 3 khi cho trước 4 giá trị. Ở đây để củng cố thêm ta dùng đa thức nội suy cho $P(x)$, 4 giá trị cho bởi $g(x)=\dfrac{x}{x+1}, \ x=1, 2, 3, 4.$ …

    $\overrightarrow{AB}=(1;2;0), \overrightarrow{CD}=(0;1;1)$. Phương trình đoạn thẳng $AB$ $\left\lbrace\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=1\end{array} \right. \quad (t \in [0;1])$. Suy ra $M(1+t;1+2t;1) \ (t \in [0;1])$. Phương trình đoạn thẳng $CD$ $\left\lbrace\begin{array}{l}x=3\\ y=1+u\\ z=3+u\end{array} \right. \quad (u \in [0;1])$. Suy ra $N(3;1+u;3+u)\ (u \in [0;1])$. Khi đó $MN^2=f(t,u)=(2-t)^2+(u-2t)^2+(2+u)^2$. Ta xem $f(t,u)$ như là một tam thức bậc …

Bài toán. Cho parabol $(P): y=x^2-4x+3$ và đường tròn $(C): (x-6)^2+(y+1)^2=1$. Tìm khoảng cách ngắn nhất của đoạn $MN$ trong đó $M, N$ là hai điểm lần lượt chay trên $(P)$ và $(C)$.   Thay vì dùng pháp tuyến đi qua tâm nhưu trong buổi học online tối 1/3/2026 ta dùng phương pháp trực quan …

Bài toán mẫu. Cho hai parabol $(P_1): y=x^2-4x+3\ ; (P_2): y=-(x-5)^2$. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm $M$ và $N$, trong đó $M, N$ là hai điểm lần lượt chạy trên $(P_1)$ và $(P_2)$.   Trong buổi học online thầy đã tính được $ MN^2=(7-2m)^2+(-2m^2+8m-7)^2$. Xét hàm số $f(x)=(7-2x)^2+(-2x^2+8x-7)^2$. Đây là hàm số …

Bài toán Cho hai hình tròn cắt nhau lần lượt có tâm và bán kính là $(O,r)$ và $(I,R)$. Ta có công thức sau đây tìm diện tích phần chung của hai hình tròn này theo 2 trường hợp.   Trường hợp 1. Tâm đường tròn này không nằm trong đường tròn kia.   Chuyển …

Bài toán. Tìm một đa thức $P(x)$ bậc 4 sao cho khi chia $P(x)$ cho $x^2+5$ dư $-14x+91$, chia $P(x)$ cho $x^2-9$ dư $28x+343$ và $P(9)=28603.$     Các bạn đọc Định lý phần dư Trung Hoa (CRT) tại đây.     Vì $x^2+5$ và $x^2-9$ nguyên tố cùng nhau nên theo định lý phần …

Bổ sung 1. Trong buổi học Online nghày 8/2/2026 thầy đã dùng hệ phương trình để giải bài toán tìm đa thức bậc 3 khi cho trước 4 giá trị. Ở đây để củng cố thêm ta dùng đa thức nội suy cho $P(x)$, 4 giá trị cho bởi $g(x)=\dfrac{x}{x+1}, \ x=1, 2, 3, 4.$ …