Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai đoạn thẳng trong không gian.

$\overrightarrow{AB}=(1;2;0), \overrightarrow{CD}=(0;1;1)$.

Phương trình đoạn thẳng $AB$ $\left\lbrace\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\\
z=1\end{array} \right. \quad (t \in [0;1])$. Suy ra $M(1+t;1+2t;1) \ (t \in [0;1])$.

Phương trình đoạn thẳng $CD$ $\left\lbrace\begin{array}{l}x=3\\ y=1+u\\
z=3+u\end{array} \right. \quad (u \in [0;1])$. Suy ra $N(3;1+u;3+u)\ (u \in [0;1])$.

Khi đó $MN^2=f(t,u)=(2-t)^2+(u-2t)^2+(2+u)^2$.

Ta xem $f(t,u)$ như là một tam thức bậc hai theo biến $t$, $t=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{2+2u}{5}$. Vì $u\in [0;1]$ nên $t \in [0,4;0,8]$. Vậy tam thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=\dfrac{2+2u}{5}$.

Thay $t$ vào $f(t,u)$ ta có: $F(u)=\left(2-\dfrac{2+2u}{5}\right)^2+\left(u-2\dfrac{2+2u}{5}\right)^2+(2+u)^2$.
 
Sau đây ta dùng máy tính để tiếp tục lời giải.
 
Gán $t=\dfrac{2+2x}{5}$ vào biến nhớ: .
 
Gán $F(x)$ vào biến nhớ .
 
Dùng phương pháp CALC1000 cho $25F(x)$ (vì $F(x)$ có mẫu số $25$): .
 
Vậy $F(x)=\dfrac{1}{25}(30x^2+60x+180), x \in [0;1]$. Vì $F'(x)=\dfrac{1}{25}(60x+60) >0 \ \forall x \in [0;1]$ nên GTNN của $F(x)$ là $F(0)$, Và GTNN của $MN$ là

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).