Về hai bài toán nguyên hàm/tích phân của chuyên Lam Sơn lần 3 (Bài 2)

$$\displaystyle \int_a^bu(x)f'(x)dx=u(x).f(x)\Big|_a^b-\int_a^bu'(x)f(x)dx$$

Khi đó với $u(x)=x^2, a=0, b=1$ ta có:

$$\displaystyle \int_0^1x^2f'(x)dx=x^2.f(x)\Big|_0^1-\int_0^12xf(x)dx$$

Theo đề bài, thay $x=1$ vào biểu thức $f(x^2)=2f(x)+x^4-4x$ ta suy ra $f(1)=3$ và lấy tích phân hai vế đẳng thức đã cho ta có:

$$\displaystyle \int_0^12xf(x^2)dx=\int_0^14x.f(x)dx+\int_0^1(2x^5-8x^2)dx$$

Lưu ý bằng PP đổi biến số $t=x^2$ thì VT  chính là $I=\dfrac43$ và

suy ra $\displaystyle \int_0^12xf(x)dx=$

Vậy: $J=$ ta chọn A.