Mở một bảng tính cột A ta đánh số từ 1 đến 32, gán $1+\sqrt3$ vào biến nhớ A và $1-\sqrt3$ vào biến nhớ B. Cột B ta điền công thức sau: $$B_1=A^{A_1}+B^{A_1}+1$$ phạm vi $B_1:B_{32}$.   Gán hai cơ số vào biến nhớ:   Dùng điền công …

Định lý. Nếu $a$ và $m$ nguyên tố cùng nhau (nghĩa là $\text{GCD}(a,m)=1$) thì $$a^{\varphi(m)} \equiv 1 \ (\text{mod}\ m).$$   $\varphi$ gọi là “hàm phi Euler”. $\varphi(m)$ được xác định như sau: $$\left\lbrace\begin{array}{ll}\varphi (m)=m-1 &\text{nếu}\ m \ \text{là số nguyên tố} \\ \varphi(m)=m\left[\dfrac{a_1-1}{a_1}\cdot \dfrac{a_2-1}{a_2}\cdots \dfrac{a_k-1}{a_k}\right] & \text{nếu $a=a_1^{n_1}\cdot a_2^{n_2}\cdot …

Bài viết này dành riêng cho các thầy cô phụ trách đội tuyển THCS của các tỉnh Tây Ninh (cũ), Bình Dương và Bà Rịa-Vũng Tàu (cũ) là các địa phương lần đầu tham gia các kỳ thi HSG MTCT cấp tỉnh/Thành phố.   Thuật toán tìm chu kỳ của …

    a) $P=1+5+5^2+\dots +5^{2026}$.   Ta thấy $P$ là tổng của một cấp số nhân $u_1=1, 5=5, n=2027$. Do đó $$P=\dfrac{5^{2027}-1}{5-1}$$ Suy ra $\log P=\log\left(5^{2017}-1\right)-\log 4$. $\log\left(5^{2017}-1\right)\approx \log\left(5^{2017}\right)=2017\log 5.$ (sai số của phép xấp xỉ này rất nhỏ (xem tính toán ở dưới) không làm ảnh hưởng tới phần …

  Ta có nhận xét $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x}-x-2\log x=-f(x)$. Vậy $f\left(\dfrac{1}{2025\sin x+2026}\right)+f(2025\cos 3x+2026)=0 \Leftrightarrow f(2025\sin x+2026)=f(2025\cos 3x+2026)$ Do $f$ là hàm số đơn điệu tăng (đạo hàm luôn luôn dương) nên phương trình tương đương với phương trình $2025\cos 3x+2026=2025\sin x ⇔ \cos 3x=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) ⇔ \left[\begin{array}{ll}x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}&(1)\\ x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi&(2) \end{array} \right. $ Trên …

Các năm trước ta gặp bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai parabol. Kỳ thi năm nay ta gặp một bài toán khác, đó là tìm khoảng cách ngắn nhất giữa một hyperbol xiên góc và một cung tròn (hay nửa đường tròn). Hai bài toán này có …