Về phương trình bậc hai theo hai biến $x, y$

Ta luôn có thể giả sử $a=1$, vế trái (không kể hệ số tự do $f$) là một dạng toàn phương theo hai biến $x, y$. Ta sẽ biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc.
 

$x^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey=\underbrace{x^2+2(by+d)x+(by+d)^2}_{(x+by+d)^2}$$-(by+d)^2+cy^2+2ey$
 

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ =(x+by+d)^2-\left[(b^2-c)y^2+2(bd-e)y+d^2\right]$
 
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ =(x+by+d)^2-(b^2-c)\left[(y+\dfrac{bd-e}{b^2-c}\right]^2+\alpha$
 

Nếu $\Delta=b^2-c=A^2$ thì $x^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey=\left[x+(b+A)y+d+\dfrac{bd-e}{A}\right]\left[x+(b-A)y+d-\dfrac{bd-e}{A}\right]+\alpha$.

Chúng tôi hiển thị kết quả dưới dạng tích của hai thừa số bậc nhất, không đề nghị ghi nhớ kết quả.
 

Áp dụng:

Chú ý phương trình (2) thay $22=1+21$ với $21$ thay bằng phương trình (1) để có phương trình bậc hai theo hai biến $x, y$.
 

Hệ phương trình trở thành: $$\left\lbrace\begin{array}{ll}
x^2+7xy+6y^2+x+6y=21 &(1)\\
x^2+2xy+y^2+2x+2y+1=\dfrac97(x+6y)&(2)\end{array} \right. $$

Vì không ghi nhớ kết quả nên ta biến đổi lại phương trình (1) như sau:

$x^2+7xy+6y^2+x+6y=21 ⇔ \left(x+\dfrac{7y+1}{2}\right)^2-\underbrace{\dfrac{49y^2+14y+1}{4}+6y^2+6y}_{\text{bấm MTCT, chú ý hệ số}\ -\dfrac{25}{4}}=21$

 
$ ⇔ \left(x+\dfrac{7y+1}{2}\right)^2 -\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{5y-1}{5}\right)^2=21 ⇔ \left(x+\dfrac{7y+1}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{5y-1}{2}\right)^2=21$
 
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad ⇔ (x+6y)(x+y+1)=21$.
 

VT của phương trình (2) thì đơn giản hơn nên ta viết ngay kết quả $(2) ⇔ (x+y)^2+2(x+y)+1=\dfrac97(x+6y) ⇔ (x+y+1)^2=\dfrac97(x+6y)$.
 

Đặt ẩn số phụ $a=x+6y, b=x+y+1$ ta có hệ phương trình
 
$\left\lbrace\begin{array}{l}ab=21\\
b^2=\dfrac97a\end{array} \right. \qquad$ $\qquad ⇔ \left\lbrace\begin{array}{l}a=7\\ b=3\end{array} \right. $

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).