Luyện thi 10 Chuyên Toán

Đặt vấn đề. Sau khi đề thi Toán vòng 1 năm nay của Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên xuất hiện, nhiều nhà Toán học đã tỏ rõ băn khoăn về độ khó của đề. Theo họ, đề thi đang hướng đến lối học tiêu cực, luyện thi, mẹo mực để trở thành các …

Đặt vấn đề. Trong kỳ thi TS 10 bài toán Hình học là một bài khó. Trong bài thi TS 10 Chuyên bài toán Hình học, vì thế, là bài toán cực khó. Chỉ có những sinh giỏi và luyện thi liên tiếp 2 năm với thầy giáo chuyên luyện thi Chuyên mới có khả …

Đặt vấn đề. Đề thi vào lớp 10 các Trường chuyên (phía Bắc) thường yêu cầu học sinh giải một hệ phương trình mà mỗi phương trình của hệ là một phương trình bậc hai theo 2 biến $x, y$ có dạng: $$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$$ Nhiều nhà sư phạm không đánh giá cao cách ra đề như …

Nguyên lý Dirichlet. Nguyên lý Dirichlet (còn gọi là nguyên lý chuồng chim bồ câu) là một nguyên lý cơ bản trong toán học tổ hợp, phát biểu rằng:   Nếu có nhiều vật thể hơn số ngăn chứa, thì ít nhất một ngăn chứa phải chứa nhiều hơn một vật thể.   Giải thích …

  Bài 1 a).   Xét hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l}y^3+z^3=x\quad (1)\\ z^3+x^3=y\quad (2)\\ x^3+y^3=z \quad (3)\end{array}\right. $$ Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp khử. Lấy (1) trừ (2) ta có: $\quad y^3-x^3+y-x=0 ⇔ (y-x)(y^2+yx+x^2+1)=0$ $⇔ (y-x)\underbrace{\left[\left(y+\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}x^2+1\right]}_{>0}=0$ $⇔ y=x$. Tương tự lấy (2) trừ (3) ta có: $y=z$. Vậy hệ phương trình đã cho …

  BĐT cơ bản 1. Cho $a, b,c $ tuỳ ý, ta có các bất đẳng thức cơ bản sau đây: $\left\lbrace\begin{array}{l}a^2+b^2\geqslant 2ab\\ b^2+c^2\geqslant 2bc\\ c^2+a^2\geqslant 2ca\end{array} \right.$ $⇒ a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$ BĐT cơ bản 2. Với $a, b, c$ tuỳ ý ta có:   $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \geqslant 3(ab+bc+ca)$.   Ngoài ra:   $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\leqslant 3(a^2+b^2+c^2)$. Vậy: $$3(ab+bc+ca)\leqslant …

Đặt vấn đề. Sau khi đề thi Toán vòng 1 năm nay của Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên xuất hiện, nhiều nhà Toán học đã tỏ rõ băn khoăn về độ khó của đề. Theo họ, đề thi đang hướng đến lối học tiêu cực, luyện thi, mẹo mực để trở thành các …

Đặt vấn đề. Trong kỳ thi TS 10 bài toán Hình học là một bài khó. Trong bài thi TS 10 Chuyên bài toán Hình học, vì thế, là bài toán cực khó. Chỉ có những sinh giỏi và luyện thi liên tiếp 2 năm với thầy giáo chuyên luyện thi Chuyên mới có khả …

Đặt vấn đề. Đề thi vào lớp 10 các Trường chuyên (phía Bắc) thường yêu cầu học sinh giải một hệ phương trình mà mỗi phương trình của hệ là một phương trình bậc hai theo 2 biến $x, y$ có dạng: $$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$$ Nhiều nhà sư phạm không đánh giá cao cách ra đề như …

Nguyên lý Dirichlet. Nguyên lý Dirichlet (còn gọi là nguyên lý chuồng chim bồ câu) là một nguyên lý cơ bản trong toán học tổ hợp, phát biểu rằng:   Nếu có nhiều vật thể hơn số ngăn chứa, thì ít nhất một ngăn chứa phải chứa nhiều hơn một vật thể.   Giải thích …

  Bài 1 a).   Xét hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l}y^3+z^3=x\quad (1)\\ z^3+x^3=y\quad (2)\\ x^3+y^3=z \quad (3)\end{array}\right. $$ Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp khử. Lấy (1) trừ (2) ta có: $\quad y^3-x^3+y-x=0 ⇔ (y-x)(y^2+yx+x^2+1)=0$ $⇔ (y-x)\underbrace{\left[\left(y+\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}x^2+1\right]}_{>0}=0$ $⇔ y=x$. Tương tự lấy (2) trừ (3) ta có: $y=z$. Vậy hệ phương trình đã cho …

  BĐT cơ bản 1. Cho $a, b,c $ tuỳ ý, ta có các bất đẳng thức cơ bản sau đây: $\left\lbrace\begin{array}{l}a^2+b^2\geqslant 2ab\\ b^2+c^2\geqslant 2bc\\ c^2+a^2\geqslant 2ca\end{array} \right.$ $⇒ a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$ BĐT cơ bản 2. Với $a, b, c$ tuỳ ý ta có:   $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \geqslant 3(ab+bc+ca)$.   Ngoài ra:   $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\leqslant 3(a^2+b^2+c^2)$. Vậy: $$3(ab+bc+ca)\leqslant …