Lại nói về dãy số quy nạp

Trước hết ta nhận xét rằng với học lực THCS, bài toán này chỉ tính được $u_{9}$ và $u_{24}$ (theo yêu cầu bài toán). Việc xây dựng số hạng tổng quát của dãy số để tính được $u_{2022}$ không phù hợp với học lực lớp 9 nên chúng ta sẽ trao đổi ở dưới với học lực lớp 12.
 

Ta dùng bảng tính tìm 24 số hạng đầu tiên của dãy số (để trả lời phần đầu của câu hỏi) để từ đó dự đoán số hạng tổng quát.
 

Mở một bảng tính, cột A đánh số từ 1 đến 24, bột B dòng 1 nhập số 0, từ dòng 2 đến dòng 24 điền công thức:
$$B2=\dfrac{A_1^2+A_1}{A_1^2+5A_1+6}(B_1+1)$$

Lần lượt gán các giá trị từ $B_2$ đến $B_{9}$ và $B_{24}$ vào biến nhớ .  

Vậy $$\fbox{$u_9=\dfrac{38}{25}\ ; u_{24}=\dfrac{1127}{250}.$}$$
Bây giờ ta xác định số hạng tổng quát của dãy.
 

Ta có $u_{2}=\dfrac16 ; u_3=\dfrac{7}{20}, u_4=\dfrac{27}{50}, u_5=\dfrac{11}{15}=\dfrac{77}{105}, u_6=\dfrac{13}{14}=\dfrac{182}{196}, u_7=\dfrac{9}{8}=\dfrac{378}{336}, u_8=\dfrac{119}{90}=\dfrac{714}{540}, $
 
$u_9=\dfrac{38}{25}=\dfrac{1254}{825}, \dots $

Quan sát ta thấy tử của phân số sau là tổng của tử và mẫu của phân số trước. Nếu ta ký hiệu $u_n=\dfrac{T_n}{M_n}$ thì $T_n=T_{n-1}+M_{n-1}\quad (1)$.
 

Nếu ta lấy mẫu của phân số sau chia cho mẫu của phân số trước ta được một phân số mà tử và mẫu là tích của hai số nguyên liên tiếp, ví dụ:

$\dfrac{20}{6}=\dfrac{5\times 4}{3\times 2}$, $\dfrac{50}{20}=\dfrac52=\dfrac{30}{12}=\dfrac{6\times 5}{4\times 3}$, $\dfrac{105}{50}=\dfrac{21}{10}=\dfrac{42}{20}=\dfrac{7\times 6}{5\times 4}, \dfrac{196}{105}=\dfrac{28}{15}=\dfrac{56}{30}=\dfrac{8\times 7}{6\times 5}, \dots$
 
Ta dự đoán $M_n=M_{n-1}.\dfrac{(n+2)(n+1)}{n(n-1)}\quad (2)$.
 

Dựa vào biểu thức quy nạp (2) ta tính được : $M_n=\dfrac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$. (Viết các đẳng thức 2 thành từng dòng, nhân các dòng cho nhau rồi đơn giản các thừa số giống nhau. Thao tác này gọi là tích telescoping).

Dựa vào biểu thức quy nạp (1) dùng tổng telescoping. ta tính được : $T_n=\dfrac{n(2n^4+5n^3-5n-2)}{120}$.

Từ đó suy ra $$a_n=\dfrac{(n-1)(2n+1)}{10(n+1)}\ (n \geqslant 2)$$

Kiểm tra:
 

 

.
 
 
Vậy $u_{2022}=\dfrac{1634989}{4046}$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).