BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Một số giải thích và bổ sung của Bài 1 Online THCS
- 08/02/2026
- 497 lượt xem
| Giải thích 1. Khi ta tìm được dư của phép chia một số $a$ cho một số $b$ thì dư số $r$ này ta gọi là “đồng dư” . Để làm việc với số $a$ rất lớn đó khi chia cho $b$, ta sẽ chỉ làm việc với số $r$ rất nhỏ này. Ví dụ: Tìm dư của $2026^{2027}$ cho $2024$. Ta thấy $2026$ “đồng dư” với $2$ (khi chia cho $2024$) nên ta chỉ làm việc với số $2^{2027}$ (cải thiện rất lớn). |
| Giải thích 2. Chú ý phép tính lũy thừa ở lớp 8: $a^{x+y}=a^x.a^y$ và $a^{xy}=(a^x)^y$. Vì vậy $$a^{xy+z}=(a^x)^y \cdot a^z$$ Ví dụ: $4^{2022}=4^{2^4.5^3+22}=2^{2.2.2.2.5.5+22}=(((((2^2)^2)^2)^2)^5)^5\cdot 2^{22}$ |
| Giải thích 3. Gọi $\varphi(m)$ là phi Euler của số $m$. Nếu $m$ phân tích ra các thừa số nguyên tố $a_1, a_2, \cdots, a_k$ (không quan tâm tới lũy thừa) thì $\varphi(m)=m\cdot \dfrac{a_1-1}{a_1}\cdot \dfrac{a_2-1}{a_2}\cdot \cdots \cdots \dfrac{a_k-1}{a_k}.$
Đặc biệt: Nếu $m$ là số nguyên tố thì $\varphi(m)=m-1 $, ngoài ra $$\quad \varphi(100)=40, \quad \varphi (1000)=400.$$ |
Ví dụ: Tìm dư của phép chia số $2027^{2028}$ cho $1000$.
Vì $2027\equiv 27\quad (\text{mod}\ 1000)$ nên ta giải bài toán cho $27^{2028}$.
Vì $\text{GCD}(27,1000)=1$ nên áp dụng định lý Euler: $27^{\varphi(1000)}\equiv 1 \quad (\text{mod}\ 1000)$, nghĩa là $27^{400} \equiv 1 \quad (\text{mod}\ 1000)$, suy ra $27^{2000}=\left(27^{400}\right)^{5} \equiv 1 \quad (\text{mod}\ 1000)$.
Vậy $27^{2028}=\underbrace{27^{2000}}_{\equiv 1}.27^{28}\equiv 27^{28}\quad (\text{mod}\ 1000)$
$28=2^2\times 7\quad $ $⇒ 27^{28}=(((27^2)^2)^7$.
.
ĐS. $681$.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
