BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Số hạng tổng quát của dãy số quy nạp (bài 2)
- 15/11/2021
- 534 lượt xem
| Cho dãy số $(u_n)$ xác đinh bởi: $$\left\lbrace\begin{array}{l}u_1=u; u_2=v\\ u_{n}+au_{n-1}+bu_{n-2}= c\ \ \forall n \geqslant 3 \end{array}\right.$$ trong đó $a,b,c \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng số hạng tổng quát của dãy số nói trên được xác định bởi $$u_n=Ax_1^n+Bx_2^n+C$$ trong đó $A, B, C$ là ba số mà ta sẽ xác định, $x_1,x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình: $x^2+ax+b=0$. |
Ta có: $$u_{n}+au_{n-1}+bu_{n-2}= c\Leftrightarrow (u_{n}-x_1u_{n-1})-x_2(u_{n-1}-x_1u_{n-2})=c \ \ \forall n \geqslant 3$$
$(u_{n}-x_1u_{n-1})-x_2(u_{n-1}-x_1u_{n-2})=c$ (dòng 1)
$(u_{n-1}-x_1u_{n-2})-x_2(u_{n-2}-x_1u_{n-3})=c$ (dòng 2)
………………………………………..
$(u_{4}-x_1u_{3})-x_2(u_{3}-x_1u_{2})=c$ (dòng n-3)
$(u_{3}-x_1u_{2})-x_2(u_{2}-x_1u_{1})=c$ (dòng n-2)
Nhân dòng thứ 1 cho 1, dòng thứ 2 cho $x_2$ … và nhân với dòng n-2 cho $x_1^{n-3}$, rồi cộng tất cả đẳng thức tạo thành, khử các biểu thức giống nhau ta có kết quả:
$$(u_{n}-x_1u_{n-1})-x_2^{n-2}(u_{2}-x_1u_{1})=c.\dfrac{1-x_2^{n-2}}{1-x_2}$$
Thu gọn ta có: $$u_{n}-x_1u_{n-1}=\alpha x_2^{n-2}+\beta$$ trong đó $\alpha$ và $\beta$ được tạo thành từ sự gọn đẳng thức.
Lại thực hiện các thao tác tương tự như trên cho đẳng thức $$u_{n}-x_1u_{n-1}=\alpha x_2^{n-2}+\beta$$ ta có:
| $$u_n=Ax_1^n+Bx_2^n+C$$ |
trong đó $A, B, C$ được tạo thành từ việc thu gọn các đẳng thức một cách hoàn toàn tương tự.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
