Tìm dư của phép chia số 1111...111 (2026 chữ số 1) cho 2025

Đây là một bài toán khó đối với học sinh lớp 9.

Vì $2025$ là tích của hai số nguyên tố cùng nhau $25$ và $81$ nên ta tìm dư của A cho $25$ vào cho $81$ sau đó sử dụng định lý phần dư Trung Hoa.
 
Ta viết $A=\underbrace{1111…111}_{2026 \ \text{chữ số}\ 1 }=10^0+10^1+10^2+\dots 10^{2025}$.
 

Dư của phép chia $A$ cho $25$: Ta có nhận xét $10^2$ chia hết cho $25$ nên $10^{n} (n \geqslant 2)$ đều chia hết cho $25$. Do đó dư của phép chia $A$ cho $25$ chính là dư của phép chia $10^0+10^1$ cho $2025$. Vậy $$A \equiv 11 \ (\text{mod}\ 25).$$
 
Dư của phép chia $A$ cho $81$: Ta có $10^9 \equiv 1 \ (\text{mod}\ 81 )$ .
 
Suy ra $10^{9n} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 81)$

 

$A=(10^0+10^1+10^2+\dots +10^8)+10^9(10^0+10^1+10^2+\dots +10^8)+$

$+10^{18}(10^0+10^1+10^2+\dots +10^8)+\dots +10^{2016}(10^0+10^1+10^2+\dots +10^8)+10^{2025}$ (có 225 nhóm ngoặc đơn).
 
Vì $10^9, 10^{18}=(10^9)^2, \dots , 10^{2016}=(10^9)^{224}$ đều đồng dư với $1$ mod $81$, và $10^0+10^1+10^2+\dots +10^8=111111111 \equiv 9\ (\text{mod}\ 81)$ nên $A \equiv 225\times 9 +(10^9)^{225} \ (\text{mod}\ 81)$ , nghĩa là $$A\equiv 1 \ (\text{mod}\ 81 )$$.
Ta có hệ phương trình đồng dư: $$\left\lbrace\begin{array}{ll}A \equiv 11 &\ (\text{mod}\ 25 )\\
A\equiv 1 &\ (\text{mod}\ 81 )\end{array} \right. $$

Vì $81$ và $25$ nguyên tố cùng nhau nên theo định lý phần dư Trung Hoa. hệ có nghiệm duy nhất $$x=11\times 81z_1+1\times 25z_2 \ (\text{mod}\ 81\times 25 ).$$

Lập bảng giá trị cho hai hàm số (trong hình)
 
Ta thấy $z_1=21, z_2=13$ (giá trị của $x$ làm $f(x), g(x)$ nguyên).

Kết quả:. Dư của phép chia số $\underbrace{1111…111}_{2026 \ \text{chữ số}\ 1 }$ cho $2025$ là $\boldsymbol{811}$.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).