Tài liệu THPT

Đề bài: Cho ba số dương [latex]a,b,c[/latex] thỏa mãn [latex]a+b+c=1[/latex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: [latex]P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}[/latex] Bài giải: Thấy rằng biểu thức đối xứng với ba biến [latex]a,b,c[/latex] nên ta dự đoán điểm rơi [latex]a=b=c=\frac{1}{3}[/latex] Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có [latex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant \frac{9}{ab+bc+ca}[/latex] Do đó [latex]P\geqslant \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/latex] Lại có [latex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{9}{x+y+z}[/latex] Suy ra [latex]P\geq \frac{9}{\left …

Đề bài: Tìm giá thực của tham số [latex]m[/latex] để phương trình sau có nghiệm duy nhất: [latex]\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=m[/latex] Bài giải: Điều kiện [latex]0\leqslant x\leqslant 1[/latex] Đặt [latex]f\left ( x \right )=\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}[/latex] Thấy rằng [latex]f\left ( x \right )=f\left ( 1-x \right )[/latex] Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất thì [latex]x=1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}[/latex] Thay vào vế trái phương trình ta …

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: [latex]\left\{\begin{matrix} x^{4}+x^{3}y+9y=y^{3}x+x^{2}y^{2}+9x & & \\ x\left ( y^{3}-x^{3} \right )=7 & & \end{matrix}\right.[/latex] Bài giải: Nhập phương trình thứ nhất của hệ vào máy tính, cho [latex]y=1000[/latex] máy cho kết quả [latex]x=1000[/latex] Phân tích phương trình thứ nhất của hệ đã cho về dạng: [latex]\left ( …

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: [latex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=2\left ( x^{2}+y^{2} \right ) & & \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=y^{2}-x^{2}& & \end{matrix}\right.[/latex] Bài giải: Điều kiện [latex]xy\neq 0[/latex] Lần lượt cộng và trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta có hệ phương trình sau: [latex]\left\{\begin{matrix} \frac{2}{x}=x^{2}+3y^{2} & & \\ \frac{1}{y}=3x^{2}+y^{2} & & …

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực: [latex]\sqrt{5x^{2}-14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}=5\sqrt{x+1}[/latex] Bài giải: Điều kiện [latex]x\geqslant 5[/latex] Chuyển vế và bình phương hai vế phương trình ta có [latex]2x^{2}-5x+2=5\sqrt{\left ( x^{2}-x-20 \right )\left ( x+1 \right )}[/latex]   [latex]2x^{2}-5x+2=5\sqrt{\left ( x^{2}-4x-5 \right )\left ( x+4 \right )}[/latex] Ta cần tìm các hằng số [latex]a,b[/latex] sao cho [latex]a\left ( …

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực: [latex]x^{6}-15x^{2}+\sqrt{68}=0[/latex] Bài giải: Nhận xét rằng [latex]x=0[/latex] không là nghiệm của phương trình đã cho. Chia hai vế phương trình đã cho với [latex]x^{2}\neq 0[/latex] ta có phương trình [latex]x^{3}+\frac{\sqrt{68}}{x^{3}}=\frac{15}{x^{2}}\Leftrightarrow x^{3}+\frac{2\sqrt{17}}{x^{3}}=\frac{17-2}{x}[/latex]  (*) Đặt [latex]a=\sqrt{17}[/latex] Viết phương trình (*) về dạng sau: [latex]x^{2}a^{2}-2a-x^{6}-2x^{2}=0[/latex] Coi [latex]a[/latex] là ẩn chính, [latex]x[/latex] là tham …

Đề bài: Cho ba số dương [latex]a,b,c[/latex] thỏa mãn [latex]a+b+c=1[/latex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: [latex]P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}[/latex] Bài giải: Thấy rằng biểu thức đối xứng với ba biến [latex]a,b,c[/latex] nên ta dự đoán điểm rơi [latex]a=b=c=\frac{1}{3}[/latex] Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có [latex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant \frac{9}{ab+bc+ca}[/latex] Do đó [latex]P\geqslant \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/latex] Lại có [latex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{9}{x+y+z}[/latex] Suy ra [latex]P\geq \frac{9}{\left …

Đề bài: Tìm giá thực của tham số [latex]m[/latex] để phương trình sau có nghiệm duy nhất: [latex]\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=m[/latex] Bài giải: Điều kiện [latex]0\leqslant x\leqslant 1[/latex] Đặt [latex]f\left ( x \right )=\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}[/latex] Thấy rằng [latex]f\left ( x \right )=f\left ( 1-x \right )[/latex] Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất thì [latex]x=1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}[/latex] Thay vào vế trái phương trình ta …

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: [latex]\left\{\begin{matrix} x^{4}+x^{3}y+9y=y^{3}x+x^{2}y^{2}+9x & & \\ x\left ( y^{3}-x^{3} \right )=7 & & \end{matrix}\right.[/latex] Bài giải: Nhập phương trình thứ nhất của hệ vào máy tính, cho [latex]y=1000[/latex] máy cho kết quả [latex]x=1000[/latex] Phân tích phương trình thứ nhất của hệ đã cho về dạng: [latex]\left ( …

Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: [latex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=2\left ( x^{2}+y^{2} \right ) & & \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=y^{2}-x^{2}& & \end{matrix}\right.[/latex] Bài giải: Điều kiện [latex]xy\neq 0[/latex] Lần lượt cộng và trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta có hệ phương trình sau: [latex]\left\{\begin{matrix} \frac{2}{x}=x^{2}+3y^{2} & & \\ \frac{1}{y}=3x^{2}+y^{2} & & …

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực: [latex]\sqrt{5x^{2}-14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}=5\sqrt{x+1}[/latex] Bài giải: Điều kiện [latex]x\geqslant 5[/latex] Chuyển vế và bình phương hai vế phương trình ta có [latex]2x^{2}-5x+2=5\sqrt{\left ( x^{2}-x-20 \right )\left ( x+1 \right )}[/latex]   [latex]2x^{2}-5x+2=5\sqrt{\left ( x^{2}-4x-5 \right )\left ( x+4 \right )}[/latex] Ta cần tìm các hằng số [latex]a,b[/latex] sao cho [latex]a\left ( …

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực: [latex]x^{6}-15x^{2}+\sqrt{68}=0[/latex] Bài giải: Nhận xét rằng [latex]x=0[/latex] không là nghiệm của phương trình đã cho. Chia hai vế phương trình đã cho với [latex]x^{2}\neq 0[/latex] ta có phương trình [latex]x^{3}+\frac{\sqrt{68}}{x^{3}}=\frac{15}{x^{2}}\Leftrightarrow x^{3}+\frac{2\sqrt{17}}{x^{3}}=\frac{17-2}{x}[/latex]  (*) Đặt [latex]a=\sqrt{17}[/latex] Viết phương trình (*) về dạng sau: [latex]x^{2}a^{2}-2a-x^{6}-2x^{2}=0[/latex] Coi [latex]a[/latex] là ẩn chính, [latex]x[/latex] là tham …