Toán THPT

Đặt vấn đề. Nhiều bài toán hình học phẳng đã được nâng lên thành bài toán hình học không gian với cùng chủ đề.   Ví dụ 1.   Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Ta có $$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}.$$   Cho khối tứ diện vuông $ABCD$ (các cạnh qua $A$ vuông góc …

    a) $P=1+5+5^2+\dots +5^{2026}$.   Ta thấy $P$ là tổng của một cấp số nhân $u_1=1, 5=5, n=2027$. Do đó $$P=\dfrac{5^{2027}-1}{5-1}$$ Suy ra $\log P=\log\left(5^{2017}-1\right)-\log 4$. $\log\left(5^{2017}-1\right)\approx \log\left(5^{2017}\right)=2017\log 5.$ (sai số của phép xấp xỉ này rất nhỏ (xem tính toán ở dưới) không làm ảnh hưởng tới phần nguyên của $\log P$. $\log …

  Ta có nhận xét $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x}-x-2\log x=-f(x)$. Vậy $f\left(\dfrac{1}{2025\sin x+2026}\right)+f(2025\cos 3x+2026)=0 \Leftrightarrow f(2025\sin x+2026)=f(2025\cos 3x+2026)$ Do $f$ là hàm số đơn điệu tăng (đạo hàm luôn luôn dương) nên phương trình tương đương với phương trình $2025\cos 3x+2026=2025\sin x ⇔ \cos 3x=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) ⇔ \left[\begin{array}{ll}x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}&(1)\\ x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi&(2) \end{array} \right. $ Trên đoạn $[0;2\pi]$, phương trình (1) …

Các năm trước ta gặp bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai parabol. Kỳ thi năm nay ta gặp một bài toán khác, đó là tìm khoảng cách ngắn nhất giữa một hyperbol xiên góc và một cung tròn (hay nửa đường tròn). Hai bài toán này có cách lý luận chung đó …

    a) Gán hai hàm số đã cho vào biến nhớ:   Giải phương trình hoành độ giao điểm, sau đó lưu các nghiệm vào biến nhớ A và B.   Khoảng cách giữa hai giao điểm   b) Nhập phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai tiếp tuyến: . Giải …

Đặt vấn đề. Tổng telescoping (thường gọi là tổng triệt tiêu) là một khái niệm rất hay trong toán học, nhất là khi tính tổng các dãy số. Thuật ngữ telescoping có nguồn gốc từ telescoping tube (cái ống rút): kéo ra thì dài, nhưng khi rút lại thì chỉ còn hai đầu. . Tổng …

Đặt vấn đề. Nhiều bài toán hình học phẳng đã được nâng lên thành bài toán hình học không gian với cùng chủ đề.   Ví dụ 1.   Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Ta có $$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}.$$   Cho khối tứ diện vuông $ABCD$ (các cạnh qua $A$ vuông góc …

    a) $P=1+5+5^2+\dots +5^{2026}$.   Ta thấy $P$ là tổng của một cấp số nhân $u_1=1, 5=5, n=2027$. Do đó $$P=\dfrac{5^{2027}-1}{5-1}$$ Suy ra $\log P=\log\left(5^{2017}-1\right)-\log 4$. $\log\left(5^{2017}-1\right)\approx \log\left(5^{2017}\right)=2017\log 5.$ (sai số của phép xấp xỉ này rất nhỏ (xem tính toán ở dưới) không làm ảnh hưởng tới phần nguyên của $\log P$. $\log …

  Ta có nhận xét $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x}-x-2\log x=-f(x)$. Vậy $f\left(\dfrac{1}{2025\sin x+2026}\right)+f(2025\cos 3x+2026)=0 \Leftrightarrow f(2025\sin x+2026)=f(2025\cos 3x+2026)$ Do $f$ là hàm số đơn điệu tăng (đạo hàm luôn luôn dương) nên phương trình tương đương với phương trình $2025\cos 3x+2026=2025\sin x ⇔ \cos 3x=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) ⇔ \left[\begin{array}{ll}x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}&(1)\\ x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi&(2) \end{array} \right. $ Trên đoạn $[0;2\pi]$, phương trình (1) …

Các năm trước ta gặp bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất giữa hai parabol. Kỳ thi năm nay ta gặp một bài toán khác, đó là tìm khoảng cách ngắn nhất giữa một hyperbol xiên góc và một cung tròn (hay nửa đường tròn). Hai bài toán này có cách lý luận chung đó …

    a) Gán hai hàm số đã cho vào biến nhớ:   Giải phương trình hoành độ giao điểm, sau đó lưu các nghiệm vào biến nhớ A và B.   Khoảng cách giữa hai giao điểm   b) Nhập phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai tiếp tuyến: . Giải …

Đặt vấn đề. Tổng telescoping (thường gọi là tổng triệt tiêu) là một khái niệm rất hay trong toán học, nhất là khi tính tổng các dãy số. Thuật ngữ telescoping có nguồn gốc từ telescoping tube (cái ống rút): kéo ra thì dài, nhưng khi rút lại thì chỉ còn hai đầu. . Tổng …