Toán THPT

Xem bài viết mới: Tìm nhanh GTLN và GTLN trên casio fx 580vnx (Phần 1)

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thưc: [latex]\sqrt{x^{2}-4x+8}+\sqrt[4]{2y^{2}+12y+19}=3[/latex] Bài giải: Ta có [latex]\sqrt{x^{2}-4x+8}=\sqrt{\left ( x-2 \right )+4}; \sqrt[4]{2y^{4}+12y+19}=\sqrt[4]{2\left ( y+3 \right )^{2}+1}[/latex] Do đó [latex]\sqrt{x^{2}-4x+8}+ \sqrt[4]{2y^{4}+12y+19}\geqslant \sqrt{4}+\sqrt{1}=3[/latex] Để đẳng thức xảy ra thì dấu bằng trong các bất đẳng thức trên xảy ra tương đương [latex]x=2; y=-3[/latex] Vậy nghiệm của phương trình là [latex]x=2; y=-3[/latex] 

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực: [latex]x^{2}+3x+1=\left ( x+1 \right )\sqrt{x^{2}+1}[/latex] Bài giải: Đặt [latex]t=\sqrt{x^{2}+1}\left ( t\geqslant 1 \right )[/latex] ta có phương trình [latex]t^{2}-\left ( x+3 \right )t+3x=0[/latex]   [latex]\Leftrightarrow \left ( t-x \right )\left ( t-3 \right )=0[/latex] TH1: [latex]t=x\Rightarrow x=\sqrt{x^{2}+1}[/latex] (Vô nghiệm) TH2: [latex]t=3\Rightarrow \sqrt{x^{2}+1}=3\Rightarrow x=\pm 2\sqrt{2}[/latex] Vậy phương trình có …

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [latex]P=\sqrt{\left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}}+\sqrt{\left ( x+1 \right )^{2}+y^{2}}+\left | y-2 \right |[/latex] Bài giải: Đặt [latex]\overrightarrow{u}=\left ( 1-x;y \right ), \overrightarrow{v}=\left ( 1+x;y \right )[/latex] và áp dụng bất đẳng thức vector [latex]\left | \overrightarrow{u} \right |+\left | \overrightarrow{v} \right |\geqslant \left | \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}\right |[/latex] ta có[latex]P\geqslant …

Đề bài: Cho các số thực [latex]x,y,z[/latex] thỏa mãn [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2[/latex]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức [latex]P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz[/latex] Bài giải: Viết lại biểu thức đã cho về dạng [latex]P=\left ( x+y+z \right )\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \right )[/latex] Từ đẳng thức [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left ( xy+yz+zx \right )=\left ( x+y+z \right )^{2}[/latex] Thay vào biểu thức [latex]P[/latex] …

Cho $f(x) = \dfrac{9^x}{9^x+3}$. Tính $S = \displaystyle\sum_{i=1}^{1999}f\left(\frac{i}{2000}\right)$. Trả lời: Tổng được viết lại: $S=f\left( \dfrac{1}{2000} \right)+f\left( \dfrac{2}{2000} \right)+f\left( \dfrac{3}{2000} \right)+…+f\left( \dfrac{1999}{2000} \right)$ Nhận thấy $f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=1$. Có thể thử một vài giá trị bằng máy tính để dự đoán điều này. Vậy $S=\left[ f\left( \dfrac{1}{2000} \right)+f\left( \dfrac{1999}{2000} \right) \right]+\left[ f\left( \dfrac{2}{2000} \right)+f\left( \dfrac{1998}{2000} …

Xem bài viết mới: Tìm nhanh GTLN và GTLN trên casio fx 580vnx (Phần 1)

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thưc: [latex]\sqrt{x^{2}-4x+8}+\sqrt[4]{2y^{2}+12y+19}=3[/latex] Bài giải: Ta có [latex]\sqrt{x^{2}-4x+8}=\sqrt{\left ( x-2 \right )+4}; \sqrt[4]{2y^{4}+12y+19}=\sqrt[4]{2\left ( y+3 \right )^{2}+1}[/latex] Do đó [latex]\sqrt{x^{2}-4x+8}+ \sqrt[4]{2y^{4}+12y+19}\geqslant \sqrt{4}+\sqrt{1}=3[/latex] Để đẳng thức xảy ra thì dấu bằng trong các bất đẳng thức trên xảy ra tương đương [latex]x=2; y=-3[/latex] Vậy nghiệm của phương trình là [latex]x=2; y=-3[/latex] 

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực: [latex]x^{2}+3x+1=\left ( x+1 \right )\sqrt{x^{2}+1}[/latex] Bài giải: Đặt [latex]t=\sqrt{x^{2}+1}\left ( t\geqslant 1 \right )[/latex] ta có phương trình [latex]t^{2}-\left ( x+3 \right )t+3x=0[/latex]   [latex]\Leftrightarrow \left ( t-x \right )\left ( t-3 \right )=0[/latex] TH1: [latex]t=x\Rightarrow x=\sqrt{x^{2}+1}[/latex] (Vô nghiệm) TH2: [latex]t=3\Rightarrow \sqrt{x^{2}+1}=3\Rightarrow x=\pm 2\sqrt{2}[/latex] Vậy phương trình có …

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [latex]P=\sqrt{\left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}}+\sqrt{\left ( x+1 \right )^{2}+y^{2}}+\left | y-2 \right |[/latex] Bài giải: Đặt [latex]\overrightarrow{u}=\left ( 1-x;y \right ), \overrightarrow{v}=\left ( 1+x;y \right )[/latex] và áp dụng bất đẳng thức vector [latex]\left | \overrightarrow{u} \right |+\left | \overrightarrow{v} \right |\geqslant \left | \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}\right |[/latex] ta có[latex]P\geqslant …

Đề bài: Cho các số thực [latex]x,y,z[/latex] thỏa mãn [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2[/latex]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức [latex]P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz[/latex] Bài giải: Viết lại biểu thức đã cho về dạng [latex]P=\left ( x+y+z \right )\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \right )[/latex] Từ đẳng thức [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left ( xy+yz+zx \right )=\left ( x+y+z \right )^{2}[/latex] Thay vào biểu thức [latex]P[/latex] …

Cho $f(x) = \dfrac{9^x}{9^x+3}$. Tính $S = \displaystyle\sum_{i=1}^{1999}f\left(\frac{i}{2000}\right)$. Trả lời: Tổng được viết lại: $S=f\left( \dfrac{1}{2000} \right)+f\left( \dfrac{2}{2000} \right)+f\left( \dfrac{3}{2000} \right)+…+f\left( \dfrac{1999}{2000} \right)$ Nhận thấy $f\left( x \right)+f\left( 1-x \right)=1$. Có thể thử một vài giá trị bằng máy tính để dự đoán điều này. Vậy $S=\left[ f\left( \dfrac{1}{2000} \right)+f\left( \dfrac{1999}{2000} \right) \right]+\left[ f\left( \dfrac{2}{2000} \right)+f\left( \dfrac{1998}{2000} …