BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Tìm 3 chữ số tận cùng của số $a^{b^{c}}$
- 28/12/2025
- 1,397 lượt xem
| Bài toán. Trên Cộng đồng giáo viên Casio, đặt ra một bài toán rất hay, đó là Tìm 3 chữ số tận cùng của số $2013^{2014^{2015}}$. |
Các thầy cô đã đưa ra phương pháp giải và đáp số. Chúng tôi tổng hợp lại thành một bài toán mang tính chất giáo khoa để học sinh có thể hiểu được và GV phụ trách am hiểu nội dung này.
| Giáo khoa |
| Nếu $a$ và $m$ nguyên tố cùng nhau, nghĩa là $\text{GCD}(a,m)=1$ thì $a^{\varphi(m)}\equiv 1 \ (\text{mod}\ m )$.
Nếu $m$ là số nguyên tố thì $\varphi(m)=m-1$. Nếu $m$ là hợp số thì phân tích $m$ ra thừa số nguyên tố. Khi đó $\varphi(m)=m\times \displaystyle \prod_{a \ \text{là các thừa số nguyên tố} }{\dfrac{a-1}{a}}$. Ví dụ: $\varphi(1000)=1000\times \dfrac12\times \dfrac45=400$. Ghi nhớ: |
 |
Vì $2013 \equiv 13 \ (\text{mod}\ 1000)$ nên ta chỉ cần tìm dư của phép chia $13^{2014^{2015}}$ cho $1000$.
Vì $13^{100} \equiv 1\ (\text{mod}\ 1000)$ (giáo khoa) nên đầu tiên ta tìm dư của phép chia số $2014^{2015}$ cho $100$, sau đó ta tìm dư của phép chia số $13^{\text{dư}}$ cho $1000$.
Vì $2014\equiv 14\ (\text{mod}\ 100)$ nên ta chỉ cần tìm dư của phép chia $14^{2015}$ cho $100$.
$14^{2015}=14^{2000+15}=14^{2^4.5^3}.14^{15}= ((((((14^2)^2)^2)^2)^4)^5)^5. 14^{15}$
.
Vậy dư của phép chia số $2014^{2015}$ cho $100$ là $24$ 
,
nghĩa là $2014^{2015}=100k+24,\ k \in \mathbb{N}$.
Cuối cùng: $13^{2014^{2015}} \equiv 13^{100k+24} \equiv \underbrace{\left(13^{100}\right)}_{\equiv 1 \ \text{mod}\ 1000 }\ \!\!\!^k\times 13^{24} \equiv 13^{24}\ (\text{mod}\ 1000)$.
$13^{24} =(13^{12})^2 \equiv 361 \ (\text{mod}\ 1000)$ 
Cách khác 
Vậy 3 chữ số cuối cùng của số $2013^{2014^{2015}}$ là $361$.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
