BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Tập sử dụng định lý phần dư Trung Hoa (CRT)
- 28/12/2025
- 539 lượt xem
| Bài toán Tìm dư của phép chia số $2027^{2025^{2023}}$ cho $2021$. |
Vì $2027 \equiv 6 \ (\text{mod}\ 2021 )$ nên ta chỉ cần tìm dư của phép chia số $6^{2025^{2023}}$ cho $2021$.
Ta có: 
nên ta tìm dư của $x=6^{2025^{2023}}$ cho $43$ và cho $47$ sau đó sử dụng định lý phần dư Trung Hoa.
| Vì $6^{42} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 43)$ nên ta trước hết ta tìm dư của phép chia $2025^{2023}$ cho $42$, sau đó tìm dư của phép chia $6^{\text{dư}}$ cho $43$. |
nên ta chỉ cần tìm dư của phép chia $9^{2023}$ cho $42$.
$9^{2023}=9^{2000+16+7}=9^{2^4.5^3}.9^{2^4}.9^7$
Vậy dư của phép chia $2025^{2023}$ cho $42$ là $9$, nghĩa là $2025^{2023}= 42k+ 9, k \in \mathbb{N}$.
$6^{2025^{2023}} \equiv 6^{42k+9} \equiv \underbrace{(6^{42})^k}_{\equiv 1 \ \text{mod}\ 43 }.6^9 \equiv 6^9\ (\text{mod}\ 43) \equiv 1 \ (\text{mod}\ 43)$ 
| Vì $6^{46} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 47)$ nên ta trước hết ta tìm dư của phép chia $2025^{2023}$ cho $46$, sau đó tìm dư của phép chia $6^{\text{dư}}$ cho $47$. |
Chia sẻ
About TS. Nguyễn Thái Sơn
