Dư của phép chia số $2^{2024^{2025}}$ cho $2025$.

Đặt $x=2^{2024^{2025}}$.
 
Bước 1: Chia nhỏ $2025$ bằng cách phân tích $2025$ thành tích của hai số nguyên tố cùng nhau. Ở đây $2025=25\times 81$.

Ta giải hai bài toán: Tìm A và tìm B sao cho $x \equiv A\ (\text{mod}\ 81 )$ và $x \equiv B\ (\text{mod}\ 125 )$
 
Bước 2. $\boldsymbol{x =2^{2024^{2025}}\equiv A\ (\text{mod}\ 81 )}$

Vì $2$ và $81$ nguyên tố cùng nhau và $\varphi(81)=54$ nên theo định lý Euler: $2^{54} \equiv 1\ (\text{mod}\ 81)$. Ta tìm dư của phép chia số $2024^{2025}$ cho $54$. Vì nên ta tìm dư của phép chia số $26^{2025}=26^{3^4.5^2}$

$=((((((26^3)^3)^3)^3)^5)^5)^5$ cho $54$.
 
nhập biểu thức nhấn OK 4 lần
 
điều chỉnh nhấn OK 3 lần .
 
Vậy $26^{2025}=54k+26, k \in \mathbb{N}$.

Do đó $x=2^{2024^{2025}}\equiv 2^{54k+26}=\underbrace{(2^{54})^k}_{\equiv 1 \ \text{mod}\ 81}.2^{26} \equiv 40 \ (\text{mod}\ 81)$ .
 
Bước 3:
Kiên trì thực hiện như trên ta có: $x\equiv 16 \ (\text{mod}\ 25 )$. Ta có hệ phương trình đồng dư
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}x \equiv 40 & (\text{mod}\ 81 )\\
x \equiv 16 & (\text{mod} \ 25)\end{array} \right. $$

Vì $\text{GCD}(81,25)=1$ nên theo định lý phần dư Trung Hoa, hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
$$x\equiv 40.25z_1+16.81.z_2+k.81.25, k \in \mathbb{Z}$$
trong đó $z_1$ là nghịch đảo của $25$ theo mô-đu-lô $81$ và $z_2$ là nghịch đảo của $81$ theo mô-đu-lô $25$.
 

Để tìm nghịch đảo mô-đu-lô của hai số đã nêu ta lập bảng giá trị cho hai hàm $f(x)=\dfrac{25x-1}{81}, g(x)=\dfrac{81x-1}{25}$, phạm vi từ $1$ dến $30$:

 
Ta có $z_1=13, z_2=21$. Vậy $x\equiv 1741 \ (\text{mod}\ 2025 )$