BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Dư của phép chia $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$ cho $2026$
- 2 ngày trước
- 209 lượt xem
Vấn đề được quan tâm. Nhiều thầy cô phụ trách đội tuyển đang tìm hiểu bài toán sau đây:
|
Kỳ thi năm sau, số $2027$ là số nguyên tố, bài toán dễ hơn. Thầy Sơn đóng góp lời giải để học sinh và các thầy cô phụ trách tham khảo với số $2026=2\times 1013$ trong đó $1013$ là số nguyên tố.
Xét dãy số Lucas $u_n=(3+\sqrt{10})^n+(3-\sqrt{10})^n$. Ta có $u_1=6, u_2=38$ và $u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}$ với $S=6, P=-1$ là tổng và tích các cơ số.
Ta có:
| $u_{2n}=u_n^2-2(-1)^n\quad \text{và}\quad u_{3n}=u_n^3-3u_{n}(-1)^n\qquad (1)$. |
Ta sẽ tính $u_{2025} \ \text{mod}\ 1013$ và $u_{2026} \ \text{mod}\ 1013$, sau đó dùng dãy số truy hồi ngược.
Nhập biểu thức $\text{Ans}^3+3\text{Ans}-1013 \text{Int}\dfrac{\text{Ans}^3+3\text{Ans}}{1013}$ , sau đó nhận OK 4 lần (chú ý trong công thức $u_{3n}$ các giá trị $n=25, 75, 225, 675$ đều là số lẻ nên $(-1)^n=-1$).
. Vậy $u_{2025} \equiv 6 \quad (\text{mod}\ 1013) $.
| Ghi nhớ. Trong dãy số Lucas, nếu $p$ là số nguyên tố thì $u_p\equiv u_1 \quad (\text{mod}\ p)$. |
Vậy $u_{1013}\equiv u_1=6 \quad (\text{mod}\ 1013)$. Theo công thức (1) ta suy ra $u_{2026} \equiv 6^2+2=38 \quad (\text{mod}\ 1013) $. Chú ý $n=1013$ là số lẻ.
Ta có dãy số truy hồi ngược: $u_{n-2}=-6u_{n-1}+u_n$. Nhập lần lượt $38$ và $6$ vào biến nhớ (tức là bấm OK), nhập biểu thức $-6\text{Ans}+\text{PreAns}-1013\text{Int}\dfrac{-6\text{Ans}+\text{PreAns}}{1013}$ nhấn OK 5 lần để giảm từ 2024 xuống 2020: 
. Vậy $u_{2020} \equiv 429 \quad (\text{mod}\ 1013) $.
Do khi khai triển hai luỹ thừa thì phần số nguyên sẽ giống nhau và phần số tỉ thì liên hợp nên tổng là số nguyên chia hết cho $2$ nên ta thấy ngay luôn luôn có $u_{2020} \equiv 0 \quad (\text{mod}\ 2)$.
Theo định lý phần dư Trung Hoa, ta có $u_{2020}\equiv 429\times 2 z$ với $z$ là nghịch đảo của $2$ theo mô-đu-lô $1013$. Ta thấy ngay $z=507$ vì hàm số $f(x)=\dfrac{2x-1}{1013} $ sẽ có giá tri nguyên nhỏ nhất là $x=507$ (Trong bảng giá trị của hàm số ta cho x từ 500 đến 544, vì nhỏ hơn phân số sẽ nhỏ hơn 1 không thể là số nguyên).
Tóm lại $u_{2020} \equiv 429\times 2\times 507 \quad (\text{mod}\ 2026)$ 
.
| Có ý kiến đề nghị như sau: Vì $u_{2020} \equiv 429 \quad (\text{mod}\ 1013) \Rightarrow u_{2020} \equiv 1442 \quad (\text{mod}\ 1013) $ (chú ý: $429+1013=1442$). Vì $u_{2020} \equiv 0 \quad (\text{mod}\ 2) \Rightarrow u_{2020} \equiv 1442 \quad (\text{mod}\ 2)$ (Hiệu của 2 số chẵn là một số chẵn). Suy ra $u_{2020} \equiv 1442 \quad (\text{mod}\ 2026)$.
|
About TS. Nguyễn Thái Sơn
