Giải bài toán đa thức bằng phương pháp truyền thống

Bài toán.

Chúng ta sẽ giải các bài toán này theo phương pháp truyền thống (không nội suy, không sai phân).

 
Đối với bài ở trên, ta có $P(k)=\dfrac{7k^2}{k+1}$, suy ra $(k+1)P(k)-7k^2=0, \ k=1, 2, 3, 4, 5$.
 
Đặt $\fbox{$g(x)=(x+1)P(x)-7x^2$}$. Ta thấy $g(x)$ là đa thức bậc $5$ có 5 nghiệm $x=1, 2, 3, 4, 5$ nên $$g(x)=A(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5).$$
Thay $x=-1$ vào đa thức $g(x)$ ta có: $$A=\dfrac{g(-1)}{(-2)(-3)(-4)(-5)(-6)} =\dfrac{-7}{-6!} =\dfrac{7}{6!} $$
(nhìn vào biểu thức đóng khung để tính $g(-1)$).
 
Gán $g(x)$ và $P(x)$ lần lượt vào biến nhớ $g(x), f(x)$:
 
.
 

Khi đó $P(6)=$
 

Bài toán này giải bằng phương pháp sai phân là nhanh nhất. Tuy nhiên ta vẫn tham khảo phương pháp truyền thống.
 

Ta có: $P(k)=\dfrac{k^3}{(k+1)(k+2)} \Rightarrow (k+1)(k+2)P(k)-k^3=0, \ k=1, 2, 3, 4, 5$.
 
Đặt $g(x)=(x+1)(x+2)P(x)-x^3$. Ta thấy $g(x)$ là đa thức bậc $7$ hệ số cao nhất bằng $1$, nhận $x=1, 2, 3, 4, 5$ là nghiệm nên ta có:
$$g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x^2+Ax+B)\quad (1)$$
Từ đây ta suy ra $Ax+B=\dfrac{g(x)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}-x^2 $

Lần lượt cho $x=-1, x=-2$ vào đẳngt hứuc trên ta nhận được một hệ hai phương trình bậc nhất theo hai ẩn $A$ và $B$:
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}-A+B&=\dfrac{g(-1)}{-6!}-1\\
-2A+B&=\dfrac{g(-2)}{\dfrac{-7!}{2!}}-4\\\end{array} \right. $$

Bấm máy tính giải hệ phương trình, lưu nghiệm vào A và B ta có:
 
.
 
Gán $g(x)$ và $P(x)$ lần lượt vào các biến nhớ $\boldsymbol{g(x)}$ và $\boldsymbol{f(x)}$ trong đó biểu thức $g(x)$ như ở $(1)$ còn $f(x)$
 
.
 
Cuối cùng và do đó $m+n=37+42=79$.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).