Tìm dư của phép chia số $A=2025^{2027^{2028^{2029}}}$ cho $2031$.

Bài toán này có hai cái khó: Thứ nhất cơ số $2025$ và mod·$2031$ không nguyên tố cùng nhau. Thứ hai, mũ $b=2027^{2028^{2029}}$ quá nhiều tầng. Ta sẽ giải quyết hai cái khó này.   Vì $\text{GCD}(2025,2031)=3\ne 1$ nên ta phân tích mod ra thừa số nguyên tố , sau đó sử dụng định lý phần dư Trung Hoa.   Ta tìm dư của phép chia $A=a^{\text{mũ đa tầng}}$ cho $677$. Ở dưới sẽ cho biết vì sao không tìm dư của phép chia $A=a^{\text{mũ đa tầng}}$ cho $3$.

Vì $2025\equiv 0 \quad (\text{mod}\ 3) $ nên $A=2025^b\equiv 0 \quad (\text{mod}\ 3)$.
 
Bây giờ ta tìm dư của phép chia $A$ cho $677$ bằng cách tối giản cơ số $2025$ (“lấy dư của phép chia cơ số cho mod”) và tối giản mũ đa tầng (“lấy dư của phép chia Mũ cho mũ”).
 
Ta có $2025\equiv -6 \quad (\text{mod}\ 677)$
 

$2027 \equiv -1 \quad (\text{mod}\ 676)$
 
và $2028^{2029}$ là số chẵn nên $(-1)^{2028^{2029}} =1$, nghĩa là $b=2027^{2028^{2029}} \equiv 1 \quad (\text{mod}\ 676) $.

Do đó $A=2025^b\equiv (-6)^1 \quad (\text{mod}\ 677) $.
 
Tóm lại ta có hệ phương trình đồng dư: $$\left\lbrace\begin{array}{ll} A\equiv 0 &\quad (\text{mod}\ 3) \\
A \equiv -6 &\quad (\text{mod}\ 677) \end{array} \right. $$
Theo định lý phần dư Trung Hoa, hệ này có nghiệm duy nhất: $$A = (-6)\times 3\times z + (3\times 677)k, \ k \in \mathbb{Z}$$ với $z$ là nghịch đảo của $3$ theo mô-đu-lô $677$. Ta thấy ngay $z=226$ (chọn $z$ sao cho $3z-1 \geqslant 677 \ \text{(để thương $\dfrac{3z-1}{677}$ là số nguyên dương)}\ \Leftrightarrow z\ \geqslant 226$ ), sau đó thấy $3\times 226 \equiv 1 \quad (\text{mod}\ 677)$ nên $z=226$.

Cuối cùng (chọn $k=3$ để kết quả là số dương).
 

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).