Ký hiệu Legendre và ứng dụng trong lý thuyết số

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và $a$ là số nguyên không chia hết cho $p$.

$a$ được gọi là thặng dư chính phương mô-đu-lô $p$ nếu tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^2\equiv a \quad (\text{mod}\ p)$.
 
Nếu không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^2\equiv a \quad (\text{mod}\ p)$ thì ta nói $a$ là bất thặng dư chính phương mô-đu-lô $p$.

Ký hiệu Legendre $\left(\dfrac{a}{p}\right) = \left\lbrace\begin{array}{rl}1 & \text{nếu}\ a \ \text{là thặng dư chính phương mô-đu-lô}\ p \\
-1 & \text{nếu}\ a \ \text{là bất thặng dư chính phương mô-đu-lô}\ p \\
0 & \text{nếu}\ a \ \text{chia hết cho} \ p\end{array} \right. $
 
$\left(\dfrac{a}{p} \right)$ đọc là ký hiệu Legendre của $a$ mốc $p$.

Số chia $2039$ là số nguyên tố. Ta tính $\left(\dfrac{3}{2039}\right)=(-1)^{\big[\frac{2039+1}{6} \big]}$.
 
Vậy $\left(\dfrac{3}{2039}\right)=1$. Số $3$ là số chính phương mô-đu-lô $2039$
 

$$\left\lbrace\begin{array}{l}u_{2039} \equiv u_1=4 \quad (\text{mod}\ 2039) \\ u_{2038} \equiv u_0=2 \quad (\text{mod}\ 2039) \end{array} \right. $$

 
Nhấn OK 11 lần để giảm từ $2037$ xuống $2027$ .
 
Vậy dư của phép chia số $(2+\sqrt3)^{2027}+(2-\sqrt3)^{2027}$ cho $2039$ là $843$.