Một bài toán đơn giản mà tính toán phức tạp

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $C$ ta dựng các hình vuông $CDEF$ và $KLMN$ như trong hình vẽ. Biết diện tích các hình vuông $CDEF$ và $KLMN$ lần lượt bằng $625\ cm^2$ và $624\ cm^2$. Tính diện tích của phần tô đen.

Đặt $AC=b, BC=a, AB=c, m=25, n=\sqrt{624}$ ($m, n$ là cạnh của các hình vuông). Áp dụng định lý Thalès vào tam giác $ACB$ ta có: $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{DE}{CB} \Leftrightarrow \dfrac{b-m}{b}=\dfrac{m}{a} \Leftrightarrow \dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\quad (1)$.
 

$S_{ABC}=S_{KCN}+S_{KNBA} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ab=\dfrac12n\left(\dfrac{bc}{a}-n\right) +\dfrac12(c+n)n \Leftrightarrow ab=\left(\dfrac{bc}{a}+c \right)n\quad (2)$.

Lưu ý: Đường cao của tam giác vuông $CKN$ bằng đường cao của tam giác vuông $ACB$ trừ $n$. Đường cao của tam giác vuông $ACB$ được tính bởi $CA.CB=AB.CH \Leftrightarrow CH=\dfrac{CA.CB}{AB}$ ($H$ là chân đường cao).
 
Từ (2) ta suy ra $\quad \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{c}{ab}$.

Từ các tính toán ta suy ra hệ phương trình $$\left\lbrace\begin{array}{ll}\dfrac{1}{m^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{2}{ab}&(3)\\
\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{2}{ab} &(4)\end{array} \right. $$
Chú ý: $c^2=a^2+b^2$.
 
Trừ (4) cho (3) ta có: $\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{m^2}$. Suy ra $c=$ lưu vào C.

Từ (1) ta suy ra $\dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{\text{C}^2-a^2}}$ (C là biến nhớ). Giải phương trình tìm được $a$ máy tính tự động lưu vào biến nhớ A.
 

Giải phương trình tìm $b$ máy tính tự động lưu vào biến nhớ B.
 
Ta có: $LE=AE-AL=\dfrac{m}{\cos\varphi}-n\tan\varphi$ (với $\varphi=\widehat{ABC}$).

$LE=$ lưu vào biến nhớ D.

Lưu ý $\cot \widehat{BAC} =\tan\varphi$.
 
lưu vào $z$.
 
Ta tìm diện tích tam giác vuông $PLE$ như sau:

Tính cạnh huyền $PE$ . Suy ra diện tích tam giác $PLE$
 

Tính $EM=n-LE=$ lưu vào E. Suy ra cạnh huyền $EQ=\dfrac{EM}{\cos \widehat{MEQ}}= \dfrac{EM}{\sin \varphi}$
 
. Vậy $EQ=EP$ nên $S_{EQM}=S_{EPL}=12$.

Kết luận: diện tích của phần tô đen bằng .
 
 

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).