Phương pháp thủ công vẽ chuỗi đường tròn papus trên Geogebra

Ta vẽ ba nửa đường tròn: nửa đường tròn thứ nhất đường kính $AB$ và nửa đường tròn thứ hai đường kính $AC$ , hai nửa đường tròn này tiếp xúc nhau tại $A$. Nửa đường tròn thứ ba đường kính $BC$. Ba nửa đường tròn này tiếp xúc nhau như hình vẽ Hình phẳng tạo bởi ba nửa đường tròn trên gọi là arbelos.

Tập hợp tâm của các đường tròn trong chuỗi là một elip nhận $O_1, O_2$ làm hai tiêu điểm, nửa độ dài trục lớn bằng $a=\dfrac{R_1+R_2}{2}$, nửa độ dài trục nhỏ bằng $b=\sqrt{a^2-c^2}$, trong đó $c$ là nửa tiêu cự $c=\dfrac{O_1O_2}{2}$. Ta thấy $A$ và trung điểm của $BC$ là hai đỉnh trục lớn của elip.

Lưu ý: Geogebra cho phép vẽ chính xác một elip khi biết hai tiêu điểm và một đỉnh trục lớn.

Sau đây ta vẽ chuỗi đường tròn pappus với $AC=15\ cm, AB=12\ cm$ và do đó $BC=3\ cm$.

Suy ra $c=\dfrac{7,5-6}{2}= 0,75$, $a=\dfrac{7,5+6}{2}=6,75$, $b=\sqrt{a^2-c^2}=3\sqrt5$.
 
Thông thường người ta dùng phép nghịch đảo để vẽ chuỗi đường tròn pappus. Ở đây chúng ta dùng phương pháp thủ công (sử dụng phép dựng hình bằng phép nghịch đảo, nhưng không dùng phép nghịch đảo).
 
Mục đích của bài viết này giúp các thầy cô phụ trách đội tuyển dựng được hình để ôn thi phần hình học trong kỳ thi HSG MTCT THCS và THPT.
 

Ta chấm các điểm $A(0;0), B(12;0), C(15; 0)$ (sau này ta xê dịch hai điểm $B$ và $C$ để thay đổi kích thước). Chấm trung điểm $O_1, O_2, I_o$ lần lượt của $AB$, $AC$ và $BC$.

 

Vẽ elip nhận $O_1, O_2$ làm tiêu điểm và $A$ làm đỉnh trục lớn. Geogebra luôn vẽ chính xác được elip này. Chú ý elip rất giống đường tròn nhưng không phải đường tròn.

Dựng điểm $E$ trên đường thẳng $ABC$ sao cho $AB.AE=AC^2$ (Ta nói $E$ là ảnh của $B$ qua phép nghịch đảo cực $A$ đường tròn nghịch đảo tâm $A$ bán kính $AC$.

Cách dựng: Lấy trên đường tròn nghịch đảo (tâm $A$ bán kính $AC$) (ký hiệu $(A,AC)$ một điểm mà hình chiếu vuông góc lên đường thẳng $ABC$ là $B$, tiếp tuyến tại điểm này của đường tròn $(A, AC)$ cắt đường thẳng $ABC$ tại $E$. Gọi $J_o$ là trung điểm $CE$. Xét phép quay tâm $C$ góc $-90^o$ biến điểm $E$ thành $E’$, vectơ $\overrightarrow{CE’}$ dùng để tịnh các điểm $J_n$.

 
Gọi $J_1$ là ảnh của $J_o$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{CE’}$. Nối $AJ_1$ cắt elip tại $I_1$, nối $I_1I_o$ cắt nửa đường tròn $[BC]$ tại một điểm, đường tròn tâm $I_1$ và đi qua điểm này là đường tròn thứ nhất của chuỗi.

 
Gọi $J_2$ là ảnh của $J_1$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{CE’}$. Nối $AJ_2$ cắt elip tại $I_2$, nối $I_2I_1$ cắt đường tròn đầu tiên tại một điểm, đường tròn tâm $I_2$ và đi qua điểm này là đường tròn thứ hai của chuỗi.

Cứ như vậy ta vẽ được tất cả các đường tròn của chuỗi. Nếu ta dựng đỉnh trục nhỏ của elip bằng thước và compa ta có thể thay đổi vị trí của B và C.
 
 

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).