Phương pháp thủ công vẽ chuỗi đường tròn papus trên Geogebra

Ta vẽ ba nửa đường tròn: nửa đường tròn thứ nhất đường kính $AB$ và nửa đường tròn thứ hai đường kính $AC$ , hai nửa đường tròn này tiếp xúc nhau tại $A$. Nửa đường tròn thứ ba đường kính $BC$. Ba nửa đường tròn này tiếp xúc nhau như hình vẽ Hình phẳng tạo bởi ba nửa đường tròn trên gọi là arbelos.

Tập hợp tâm của các đường tròn trong chuỗi là một elip nhận $O_1, O_2$ làm hai tiêu điểm, nửa độ dài trục lớn bằng $a=\dfrac{R_1+R_2}{2}$, nửa độ dài trục nhỏ bằng $b=\sqrt{a^2-c^2}$, trong đó $c$ là nửa tiêu cự $c=\dfrac{O_1O_2}{2}$.

Lưu ý: Geogebra cho phép vẽ chính xác một elip khi biết hai tiêu điểm và một đỉnh trục nhỏ. Trong hình vẽ ở dưới đỉnh trục nhỏ trên được chấm trên trục nhỏ.

Sau đây ta vẽ chuỗi đường tròn pappus với $AC=15\ cm, AB=12\ cm$ và do đó $BC=3\ cm$.

Suy ra $c=\dfrac{7,5-6}{2}= 0,75$, $a=\dfrac{7,5+6}{2}=6,75$, $b=\sqrt{a^2-c^2}=3\sqrt5$.
 
Thông thường người ta dùng phép nghịch đảo để vẽ chuỗi đường tròn pappus. Ở đây chúng ta dùng phương pháp thủ công (sử dụng phép dựng hình bằng phép nghịch đảo, nhưng không dùng phép nghịch đảo).
 
Mục đích của bài viết này giúp các thầy cô phụ trách đội tuyển dựng được hình để ôn thi phần hình học trong kỳ thi HSG MTCT THCS và THPT.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).