Tiếp tục bài toán tìm dư của phép chia $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$ cho $p$.

Xét dãy số Lucas $\quad u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$, ta có $u_0=2, u_1=2a, S=2a, P=a^2-b$.
 
Dãy số quy nạp $u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}$, dãy số truy hồi ngược $Pu_{n-2}=Su_{n-1}-u_n$.

Trước hết ta chấp nhận rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì $\fbox{$u_p \equiv S=u_1 \quad (\text{mod}\ p)$}$.
 
Ngoài ra ta cũng chấp nhận rằng nếu $b$ không là chính phương mô-đu-lô $p$ thì $\fbox{$u_{p+1} \equiv 2P=2(a^2-b) \quad (\text{mod}\ p)$}$.
 
 

Xét dãy số Lucas $\quad u_n=(3+\sqrt{10})^n+(3-\sqrt{10})^n$, ta có $u_0=2, u_1=6, S=6, P=-1$.
 
Dãy số quy nạp $u_n=6u_{n-1}+u_{n-2}$, dãy số truy hồi ngược $u_{n-2}=-6u_{n-1}+u_n$.
 
Ta thấy $2029$ là số nguyên tố nên $u_{2029} \equiv S=6 \quad (\text{mod}\ 2029) $.
 
Ngoài ra ta chứng minh được $10$ không là chính phương mô-đu-lô $2029$ nên $u_{2030} \equiv 2P=-2 \quad (\text{mod}\ 2029)$.
 

 

Nhấn OK 9 lần để hạ từ $u_{2028}$ xuống $u_{2020}$.
 

 

Vậy dư của phép chia số $(3+\sqrt{10})^{2020}+(3-\sqrt{10})^{2020}$ cho $2029$ là $1595$.
 
 

Để chứng minh $10$ là bất thặng dư chính phương mô-đu-lô $2029$ ta tính $\left(\dfrac{10}{2029} \right)=\left(\dfrac{2}{2029} \right)\times \left(\dfrac{5}{2029} \right)$   . Bấm vào đây để xem cách tính $\left(\dfrac{a}{p} \right)$   Do đó: $\left(\dfrac{10}{2029} \right)=(-1)\times (1)=-1$ nên $10$ là bất thặng dư chính phương mô-đu-lô $2029$.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).