BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Từ bài thi về đại số sơ cấp
- 13 giờ trước
- 99 lượt xem
| Đề thi cuối học kỳ môn Đại số sơ cấp của Khoa Toán-Tin ĐHSP TP HCM.
(Đề thi có 3 câu) |
| Câu 3. Vành chia quaternion $\mathbb{H} = \mathbb{R}1 \oplus \mathbb{R}i \oplus \mathbb{R}j \oplus \mathbb{R}k$ là một không gian vector 4 chiều trên $\mathbb{R}$ với cơ sở là $1, i, j, k$ với phép nhân được định nghĩa cho các phần tử cơ sở như sau: \[ i^2 = j^2 = k^2 = -1 \quad \text{và} \quad ij = -ji = k, \] hơn nữa với mọi $r \in \mathbb{R}$: \[ ir = ri, \quad jr = rj, \quad kr = rk. \] a) Giải phương trình $(1 – i – j + k)x = 2 + k$. b) Chứng minh rằng phương trình $x^2 + 1 = 0$ có vô số nghiệm trong $\mathbb{H}$. |
Nếu không theo học môn Đại số sơ cấp của Khoa, ngay cả thầy cũng không giải được. Ngày xưa môn Đại số sơ cấp, được sinh viên (thời đó) gọi là Đại Sơ, đọc trại thành Đại Sợ, nhưng nội dung chỉ bao gồm: Phương trình và hệ phương trình , Bất đẳng thức. Chỉ vậy thôi. Đến khi Thầy NĐL dạy thì nội dung bám sát đề thi TSĐH (tự luận). Đến hôm nay, yêu cầu cho môn Đại số sơ cấp cao hơn rất nhiều so với 5 thập kỷ trước.
Thầy không bình luận gì về đề thi này. Tuy nhiên nhờ nó, thầy muốn trao đổi với các giáo viên phụ trách đội tuyển HSG MTCT bậc THCS về bài toán
| Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$ cho số $c$ với $c$ là số nguyên tố. Cụ thể Tìm dư của phép chia số $(3+\sqrt{10})^{2020}+(3-\sqrt{10})^{2020}$ cho $2027$. |
Để giải bài toán này theo tinh thần “đại số sơ cấp” (nghĩa là không ngại sử dụng các công cụ “siêu năng”) ta kiểm tra $10$ là số chính phương mô-đu-lô $2027$, nghĩa là tồn tại số tự nhiên $x$ sao cho $x^2\equiv 10 \quad (\text{mod}\ 2027)$.
Để không mất thời giờ, nói ngay $x=487$ 
(mục đích của chính phương là để khai căn theo mô-đu-lô).
Xét dãy số Lucas $u_n=(3+\sqrt{10})^{n}+(3-\sqrt{10})^{n}$ với $u_0=2, u_1=6$.
Vì $2027$ là số nguyên tố và $10$ là số chính phương mô-đu-lô $2027$ nên
$$\left\lbrace\begin{array}{l}u_{2027} \equiv u_1 =6 \quad (\text{mod}\ 2027)\\ u_{2026} \equiv u_0 =2\quad (\text{mod}\ 2027)\end{array} \right. $$
Xét dãy số quy nạp và dãy số truy hồi ngược:
$u_n=6u_{n-1}+u_{n-2} \Leftrightarrow u_{n-2}=-6u_{n-1}+u_n$
Nhấn OK 6 lần để giảm từ $u_{2025}$ xuống $u_{2020}$ 
About TS. Nguyễn Thái Sơn
