Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$ cho $2028$.

Kết quả trên geogebra:

 

Ta có: $2028=4\times 3\times 169$ .
 
Xét dãy số Lucas $\quad u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}, S=6, P=-1, u_0=2, u_1=6$.
 
Ta xác định các số $a, b, c$ sao cho $$\left\lbrace\begin{array}{ll}u_{2020} \equiv a &\quad (\text{mod}\ 4) \\ u_{2020} \equiv b &\quad (\text{mod}\ 3) \\ u_{2020} \equiv c &\quad (\text{mod}\ 169) \\\end{array} \right. $$
 
Sau đó sử dụng định lý phần dư Trung Hoa.
 
Bước 1: Tìm $a$.
 
 
sau đó bấm OK liên tiếp ta thấy kết quả luôn là $2$ . Vậy $a=2$.
 
Bước 2: Tìm $b$.
 

(chú ý $6\equiv 0 \quad (\text{mod}\ 3) $).
 
sau đó bấm OK liên tiếp và quan sát kết quả (tuần hoàn): nếu $n$ chẵn kết quả là $2$ và nếu $n$ lẻ kết quả là $0$
 
. Vì $2020$ là số chẵn nên $b=2$.
 
 
Bước 3: Tìm $c$.
 

Trước hết ta chứng minh $10$ là số chính phương mô-đu-lô $169$. Xét hàm số

.
 
Vậy $32^2\equiv 10 \quad (\text{mod}\ 169) $.

Xét tập hợp các lớp tương đương theo mô-đu-lô $169$:$\quad \mathbb{Z}_{169}=\Big\{\overline{0}, \overline{1},\overline{2},\cdots, \overline{168}\Big\}$,
trong đó $\overline{a}$ là tập hợp các số nguyên $x$ sao cho $x \equiv a \quad (\text{mod}\ 169)$.

Trong $\mathbb{Z}_{169}$ thì $\sqrt{10}$ chính là $32$. Nên $3+\sqrt{10}$ chính là $35$ và $3-\sqrt{10}$ chính là $-29$.

Để tìm dư của phép chia $(3+\sqrt{10})^{2020}+(3-\sqrt{10})^{2020}$ cho $169$ ta chỉ cần tìm dư của phép chia số $35^{2020}+29^{2020}$ cho $169$.

Lưu ý: $2000=2^4\times 5^3$ và $20=2^2\times 5$.

Mở một bảng tính nhập $2, 2, 2, 2, 5, 5, 5$ lần lượt vào $A_1$ đến $A_7$.

nhập $2, 2, 5$ lần lượt vào $B_1$ đến $B_3$ .

Nhập $42$ vào $C_1, D_1$ , đưa con trỏ xuống $C_2$ điền công thức:
 
. Khi xuất ra màn hình kết quả, đưa con trỏ tới $D_4$ nhập công thức $=C_7\times D_3-169 \text{Int}(C_7\times D_3\div 169)$ .
 
Sau đó, đưa con trỏ tới $C_1$ và $D_1$ nhập đè số mới $165$ lên $C_2$ và $D_2$, bảng tính cập nhật . Vậy
 
$(3+\sqrt{10})^{2020}+(3-\sqrt{10})^{2020} \equiv 87+68=155 \quad (\text{mod}\ 169)$. Tóm lại $c=155$.
 
Ta tìm nghịch đảo của $3\times 169$ theo $(\text{mod}\ 4) $ và của $4\times 169$ theo $ (\text{mod}\ 3)$ như sau:
 

 

 

Riêng nghịch đảo của $3\times 4$ theo $\text{mod}\ 169) $ khó hơn, kết quả là $155$:
 

 
(cho các giá trị thấp từ $14$ không có kết quả, ta trở đầu cho phạm vi từ $169$ giảm xuống).
 
Vậy nghiệm của hệ phương trình đồng dư là:
$$x\equiv 2\times 3\times 169\times 3+2\times 4\times 169\times 4+155\times 3\times 4\times 155 \quad (\text{mod}\ 2028) $$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).