Công thức về đường phân giác trong

Chứng minh. Từ định lý hàm cos áp dụng vào các tam giác $ABD$ và $ACD$ ta suy ra:

$\left.\begin{array}{l}\cos \dfrac{A}{2}=\dfrac{AB^2+AD^2-BD^2}{2AB.AD}\\
\cos \dfrac{A}{2}=\dfrac{AC^2+AD^2-CD^2}{2AC.AD}\end{array} \right\rbrace \Rightarrow AC(AB^2+AD^2-BD^2)=AB(AC^2+AD^2-CD^2)$.

Do đó: $AD^2=\dfrac{AB.AC^2-AC.AB^2+AC.BD^2-AB.CD^2}{AC-AB}\qquad (1)$

Ta lại có $BD=BC.\dfrac{AB}{AB+AC}$ và $CD=CB.\dfrac{AC}{AC+AB}\qquad (2)$

Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được:
$$AD^2=\dfrac{bc(b-c)+\dfrac{ba^2c^2-ca^2b^2}{(b+c)^2}}{b-c}=bc-\dfrac{\dfrac{a^2bc(b-c)}{(b+c)^2}}{b-c}=bc-\dfrac{a^2bc}{(b+c)^2}=bc\left[1-\dfrac{a^2}{(b+c)^2}\right]$$
 

$BI$ là đường phân giác trong của tam giác $ABD$. $AD$ là đường phân giác trong của tam giác $ABC$. Ta có: $BD=BC.\dfrac{c}{c+b}=\dfrac{ac}{b+c}$ $AI=AD.\dfrac{AB}{AB+BD}=AD.\dfrac{c}{c+\dfrac{ac}{b+c}}$ $AI=AD.\dfrac{b+c}{b+c+a}$

Vậy $AI^2=bc\dfrac{(b+c)^2-a^2}{(b+c)^2}.\dfrac{(b+c)^2}{(a+b+c)^2}$

$$\fbox{$AI^2=\dfrac{AB.AC(AB+AC-BC)}{AB+AC+BC}$}$$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).