BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Chuyển $u_n=(a+b\sqrt{c})^n+(a-b\sqrt{c})^n$ thành biểu thức quy nạp và ứng dụng.
- 29/11/2024
- 748 lượt xem
| Đặt vấn đề. Biểu thức $u_n=(a+b\sqrt{c})^n+(a-b\sqrt{c})^n$ với $n$ khá lớn sẽ khó để thực hiện phép chia có dư. Vì vậy ta chuyển nó thành dãy số quy nạp và thực hiện chia có dư từ thấp lên cao. |
| Nếu $u_n=(a+b\sqrt{c})^n+(a-b\sqrt{c})^n\quad (a, b, c \in \mathbb{N})$ thì $$u_1= 2a, u_2=2(a^2+b^2c), \quad u_n=S.u_{n-1}-Pu_{n-2}\ \quad (n \geqslant 3)$$ với $S, P$ lần lượt là tổng và tích của hai cơ số của luỹ thừa. |
| Chứng minh (chỉ dành cho GV) Đặt $x_1=a+b\sqrt{c},\ x_2=a-b\sqrt{c}.$ Ta có: $x_1=\dfrac{P}{x_2}$. Ta tính $u_n-x_1u_{n-1}$ $=x_1^n+x_2^n-x_1\left(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}\right)=x_2^n-Px_2^{n-2}$. Tương tự: $u_{n-1}-x_1u_{n-2}$ $=x_2^{n-1}-Px_2^{n-3}$. Suy ra: |
| Áp dụng 1: Tìm dư của phép chia số $u_n=(2+3\sqrt5)^{40}+(2-3\sqrt5)^{40}$ cho $2024$. |
Ta có: $S=4, P=-41$. Vậy $u_n=4u_{n-1}+41u_{n-2} \ \quad (n \geqslant 3)$ với $u_1=4, u_2=98$.
Thực hiện trên máy tính Casio fx-880BTG với 38 lần nhấn OK trong dãy số quy nạp.
| Lưu ý: Nếu máy tính xuất ra dư là số âm (ví dụ: $3$ chia cho $7$ có thương là $1$ và số dư là $-4$) thì ta lấy số dư (âm) đó cộng với số chia ta sẽ được số dư (dương) cần tìm. |
Ví dụ:
 |
Ngoài cách thực hiện trên màn hình Phép tính thông thường ta có thể thực hiện trên bảng tính:
Chia sẻ
About TS. Nguyễn Thái Sơn
