BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Cuối cùng cho một phép tính: $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$
- 26/11/2025
- 664 lượt xem
| Bài toán. Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$ cho $c$ ($a, b, c \in \mathbb{N^*}$). |
| Áp dụng bằng số. Tìm dư của phép chia số $(3+\sqrt5)^{45}+(3-\sqrt5)^{45}$ cho $2026$. |
Xét dãy số $u_n=(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n$. Ta có hệ thức quy nạp.
$$\boldsymbol{u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}}$$ với $S$ là tổng của hai cơ số (cụ thể là $2a$) và $P$ là tích của hai cơ số (cụ thể là $a^2-b$.)
Ta có $u_1=2a, u_2=2(a^2+b)$ (thay $n=1, n=2$ vào hệ thức quy nạp).
Trong bài oán này $S=u_1=6, P=4, u_2=28$.
Mở một bảng tính, nhập $u_1, u_2$ vào $A1, A2$. 
Từ $A3$ đến $A45$ điền công thức:
Kết quả: 
.
kết quả: $892$.
| Chú ý: Nếu $n$ là bội của $3$ ta áp dụng công thức:$$u_{3n}=u_n^3-3(a^2-b)^nu_n$$ Ví dụ: Lấy lại ví dụ trên: $u_{15}=$
nhưng lộ trình thực hiện không nhanh hơn phương pháp chung trên bảng tính. |
Chia sẻ
About TS. Nguyễn Thái Sơn
