BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Đa thức với hệ số tự nhiên
- 25/12/2024
- 1,753 lượt xem
| Bài toán. Cho $f(x)$ là một đa thức với các hệ số là số tự nhiên nhỏ hơn $a$, $f(a)=b$ sao cho $$b<a^4<ab+a-b.$$ Hãy xác định đa thức đó. (tất nhiên $a$ và $b$ là các số cụ thể) |
| Lời giải dưới đây chỉ để tham khảo, nó là lời giải cổ điển cho loại toán này. Một lời giải mới nhanh chóng hơn dựa vào việc biểu diễn số $b$ trong hệ đếm theo cơ số $a$. |
Ta có: $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$.
Vì các $a_i<a$ nên $f(x)<a\left(x^n+x^{n-1}+\dots+x^3+x^2+x+1\right)=a.\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}$.
Thay $f(a)=b$ vào bất đẳng thức ta có: $b<\dfrac{a^{n+2}-a}{a-1}$.
Suy ra $$n>-2+\log_a(ab+a-b)>2\ \text{vì} \ ab+a-b>a^4.$$ $\big($ đối với học sinh lớp 9, giải $n$ lớn hơn nghiệm của phương trình $b=\dfrac{a^{n+2}-1}{a-1}$ (dùng Solver để giải)$\big)$.
Vậy $n>2$. Ta chứng minh $n$ không thể lớn hơn hay bằng $4$. Nếu $f(x)$ là một đa thức bậc từ $4$ trở lên, nghĩa là tồn tại $a_i\ne 0$ sao cho $i \geqslant 4$ thì:
$b=f(a) \geqslant a_i.a^i \geqslant a^4$ (vì $a_i\geqslant 1, i \geqslant 4$). Điều này mâu thuẩn với giả thiết $a^4>b$.
Từ đây ta suy ra $n=3$ và $f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$.
$b=f(a)=a^3.a_3+a^2.a_2+a.a_1+a_0$ $\geqslant a^3.a_3 ⇒ a_3 \leqslant \dfrac{b}{a^3}$
Vì $a_3$ là số tự nhiên nằm giữa $1$ và $\dfrac{b}{a^3}$ nên ta có thể suy ra $a_3$. Nếu có nhiều giá trị $a_3$ ta loại dần nhờ biết $a_2\leqslant \dfrac{b-a^3a_3}{a^2}$ là số tự nhiên nhỏ hơn $a$.
Khi đó $a^3a_3+a^2a_2+a.a_1+a_0=b \geqslant a^3.a_3+a^2.a_2 ⇒$ $a_2 \leqslant \dfrac{b-a^3a_3}{a^2}$ . Vì $a_2$ là số tự nhiên nằm giữa $0$ và $\dfrac{b-a^3a_3}{a^2}$ nên ta có thể suy ra $a_2$. Nếu có nhiều giá trị $a_2$ ta loại dần nhờ biết $a_1\leqslant \dfrac{b-a^3a_3-a^2a_2}{a}$ là số tự nhiên nhỏ hơn $a$.
Cuối cùng: $a.a_1+a_0=b-(a_3a^3+a_2a^2)$ . Dựa vào bất đẳng thức này ta có thể suy ra $a_1, a_0$.
Vận dụng 1. |
Kiểm tra điều kiện về $a$ và $b$: Lưu $11, 2024$ lần lượt vào A và B.
Vậy $$b<a^4<ab+a-b$$
Tính $n$ 
. Vậy $n=3$.
Tính $a_3$ 
. Vậy $a_3=1$.
Tính $a_2$ 
. Ta nhận thấy $a_2=5$ mới thỏa điều kiện
$a_1=$ 
là số tự nhiên nhỏ hơn 11.
Tính $a_1$. Ta có: $a.a_1+a_0=11a_1+a_0=$ 
ta suy ra $a_1=8$ và $a_0=0$.
Tóm lại $f(x)=x^3+5x^2+8x$. Khi đó 
| Vận dụng 2. Cho đa thức $P(x)$ có tất cả các hệ số đều là số tự nhiên, nhỏ hơn $5$, thỏa mãn điều kiện $P(5)=259$. Tính $P(2025)$. |
Kiểm tra điều kiện: $b<a^4<ab+a-b$ 
Tính $n$ 
. Vậy $n=3$.
Tính $a_3$:
Ban đầu $a_3=2$ hay $a_3=1$, sau đó thử lại thấy $a_3=2$ thỏa (vì $a_2$ tương ứng là số tự nhiên nhỏ hơn $5$).
Vậy $a_3=2$.
Tính $a_2$ 
. Vậy $a_2=0$.
Tính $a_1$ và $a_0$: Ta có: $a.a_1+a_0 =5a_1+a_0=$ 
nên $a_1=1, a_0=4$.
Kết luận $P(x)=2x^3+x+4$.
$P(2025)=16607533279$ 
About TS. Nguyễn Thái Sơn
