HSG Casio THCS

Bài toán: Tìm 5 chữ số cuối cùng của số $5^{2015}$. Đây từng là bài toán rất khó đối với học sinh và ngay cả một số giáo viên phụ trách đội tuyển.   Chúng tôi gợi ý cách giải như sau:   Trước hết ta nhận biết số   $$2015=\displaystyle\sum_{n=1}^{4}2^n+\sum_{n=6}^{10}2^n+1.$$   Vậy $$5^{2015}=\underbrace{5^{2^1}\times5^{2^2}\times5^{2^3}\times5^{2^4}\times5^{2^6}\times5^{2^7}\times5^{2^8}\times5^{2^{10}}}_{\large \text{số …

Cho dãy số $(u_n)$ xác đinh bởi: $$\left\lbrace\begin{array}{l}u_1=u; u_2=v\\ u_{n}+au_{n-1}+bu_{n-2}= c\ \ \forall n \geqslant 3 \end{array}\right.$$ trong đó $a,b,c \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng số hạng tổng quát của dãy số nói trên được xác định bởi $$u_n=Ax_1^n+Bx_2^n+C$$ trong đó $A, B, C$ là ba số mà ta sẽ xác định, $x_1,x_2$ là hai …

Nhiều năm trước đây, nhiều giáo viên đã có những nghiên cứu thú vị về việc xây dựng một dãy số quy nạp trong đó mỗi số hạng dựa vào hai số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm một biểu thức, ví dụ nghiên cứu của Thầy Nguyễn Tất Thu (THPT BC Lê Hồng …

Dựa vào hai biến nhớ và ta có thể xây dựng một dãy số qui nạp dựa vào hai số đứng liềm trước. Tuy nhiên trong các đề thi gần đây để kiểm tra trình độ học sinh, bài thi thường yêu cầu xây dựng một dãy số $(u_n)$ dựa vào hai số đứng liền …

Thông thường số bị chia có dạng $x=a^{2000+n}$ với $n$ là một số tự nhiên trong khoảng $(0;30)$ để tương ứng với năm diễn ra kỳ thi, ví dụ năm nay $2000+21$.   Ví dụ sau đây trích từ bài thi HSG MTCT THCS TP HCM năm 2021. Tìm dư trong phép chia $7^{2020}$ : …

Tháng 1/2021 kỳ thi HSG MTCT do SGD và ĐT TP HCM tổ chức tiếp tục được duy trì. Để giúp các thầy cô phụ trách đội tuyển có thêm tài liệu tham khảo để bồi dưỡng đội tuyển, chúng tôi giới các đề thi gần đây của SGD và ĐT TP HCM. Bài 9. …

Bài toán: Tìm 5 chữ số cuối cùng của số $5^{2015}$. Đây từng là bài toán rất khó đối với học sinh và ngay cả một số giáo viên phụ trách đội tuyển.   Chúng tôi gợi ý cách giải như sau:   Trước hết ta nhận biết số   $$2015=\displaystyle\sum_{n=1}^{4}2^n+\sum_{n=6}^{10}2^n+1.$$   Vậy $$5^{2015}=\underbrace{5^{2^1}\times5^{2^2}\times5^{2^3}\times5^{2^4}\times5^{2^6}\times5^{2^7}\times5^{2^8}\times5^{2^{10}}}_{\large \text{số …

Cho dãy số $(u_n)$ xác đinh bởi: $$\left\lbrace\begin{array}{l}u_1=u; u_2=v\\ u_{n}+au_{n-1}+bu_{n-2}= c\ \ \forall n \geqslant 3 \end{array}\right.$$ trong đó $a,b,c \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng số hạng tổng quát của dãy số nói trên được xác định bởi $$u_n=Ax_1^n+Bx_2^n+C$$ trong đó $A, B, C$ là ba số mà ta sẽ xác định, $x_1,x_2$ là hai …

Nhiều năm trước đây, nhiều giáo viên đã có những nghiên cứu thú vị về việc xây dựng một dãy số quy nạp trong đó mỗi số hạng dựa vào hai số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm một biểu thức, ví dụ nghiên cứu của Thầy Nguyễn Tất Thu (THPT BC Lê Hồng …

Dựa vào hai biến nhớ và ta có thể xây dựng một dãy số qui nạp dựa vào hai số đứng liềm trước. Tuy nhiên trong các đề thi gần đây để kiểm tra trình độ học sinh, bài thi thường yêu cầu xây dựng một dãy số $(u_n)$ dựa vào hai số đứng liền …

Thông thường số bị chia có dạng $x=a^{2000+n}$ với $n$ là một số tự nhiên trong khoảng $(0;30)$ để tương ứng với năm diễn ra kỳ thi, ví dụ năm nay $2000+21$.   Ví dụ sau đây trích từ bài thi HSG MTCT THCS TP HCM năm 2021. Tìm dư trong phép chia $7^{2020}$ : …

Tháng 1/2021 kỳ thi HSG MTCT do SGD và ĐT TP HCM tổ chức tiếp tục được duy trì. Để giúp các thầy cô phụ trách đội tuyển có thêm tài liệu tham khảo để bồi dưỡng đội tuyển, chúng tôi giới các đề thi gần đây của SGD và ĐT TP HCM. Bài 9. …