BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Tích của các số nguyên lẻ
- 22/11/2024
- 752 lượt xem
| Bài toán.
Ký hiệu $(2n-1)!! =1.3.5.7…(2n-1)$. Ta muốn tìm 3 chữ số cuối cùng của số $(2n-1)!!$ với $n$ là một số nguyên dương nào đó. |
Nếu $n \leqslant 15$ máy tính Casio fx-880BTG cho biết ngay kết quả, ví dụ: 
Với $n \geqslant 16$ ta có thể thao tác trực tiếp trên máy tính Casio fx-880BTG. Tuy nhiên ở đây chúng ta phát biểu kết quả trước, như sau:
|
Nếu $n \equiv 0 \ \text{mod}\ 4 $ nghĩa là $n$ chia hết cho $4$ thì 3 chữ số cuối của $(2n-1)!!$ là 625. Nếu $n\equiv 1\ \text{mod}\ 4$, nghĩa là $n$ chia cho $4$ dư $1$ thì 3 chữ số cuối của $(2n-1)!!$ là 625. Nếu $n\equiv 2\ \text{mod}\ 4$, nghĩa là $n$ chia cho $4$ dư $2$ thì 3 chữ số cuối của $(2n-1)!!$ là 875. Nếu $n\equiv 3\ \text{mod}\ 4$, nghĩa là $n$ chia cho $4$ dư $3$ thì 3 chữ số cuối của $(2n-1)!!$ là 375. |
Ở đây chúng ta sẽ không chứng minh, chỉ biết kết quả để kiểm tra đáp số. Lời giải chi tiết sẽ phụ thuộc vào số $n$.
| Ví dụ 1: Tìm 3 chữ số tận cùng của số $4047!!$. |
Đặt $x=4047!!=\displaystyle \prod_{n=1}^{2024}(2n-1)$.
Ta thấy ngay $x\equiv 0 \ \text{mod}\ 125 $ (vì trong tích chứa số 125).
Tích $\displaystyle \prod_{n=1}^{2024}(2n-1) $ gồm $506$ “bộ tứ ” liên tiếp, ví dụ: 1.3.5.7 ; 9.11.13.15 ; … ; 4041.4043.4045.4047, mỗi bộ tứ này sẽ đồng dư với 1 mod 8 vì mỗi bộ tứ sẽ đồng dư (mod 8) với bộ đầu tiên.
Vậy $x \equiv 1\ \text{mod}\ 8$.
Tóm lại ta có hệ phương trình
$$\left\lbrace\begin{array}{l}x \equiv 0\ \text{mod}\ 125\\
x \equiv 1\ \text{mod}\ 8\end{array} \right. $$
Vì 8 và 125 nguyên tố cùng nhau nên theo định lý phần dư Trung Hoa $x\equiv 0.8.z_1+1.125.z_2\ \text{mod}\ 1000$, trong đó $z_2$ là nghịch đảo mô-đu-lô của 125 mod 8. Ta thấy ngay $z_2=5$ vì $125.5=625 \equiv 1 \ \text{mod}\ 8$.
Vậy $x\equiv 625\ \text{mod}\ 1000$, nghĩa là 3 chữ số cuối cùng của số $4047!!$ là $625$ .
| Ví dụ 2: Tìm 3 chữ số cuối cùng của số 2027!!. |
Ta có $2027!!=\displaystyle \prod_{i=1}^{1014}(2i-1)$ là tích của $1014$ số nguyên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2027. Ta có: $2027!!=2023!!.2025.2027$.
$2023!!=\displaystyle \prod_{i=1}^{1012}(2i-1)$. Vì $1012$ chia hết cho 4 nên 3 chữ số tận cùng của $2023!!$ là 625. Sau đó ta có:
Vậy 3 chữ số cuối cùng của số $2027!!$ là $875$.
Ta có:
| $31!! \equiv 625\ \text{mod}\ 1000 $ $33!! \equiv 625\ \text{mod}\ 1000 $ $35!! \equiv 875\ \text{mod}\ 1000 $ $37!! \equiv 375\ \text{mod}\ 1000 $ |
|
Trong hình ở dưới, nhìn từ trên xuống, sau đó từ trái sang để nắm bắt quy luật: “chia hết cho 4, dư 1, dư 2, dư 3” :
$39!!, \quad 41!!, \quad 43!!, \quad 45!!, \quad 47!!, \quad 49!!, \quad 51!!, \quad 53!!, \quad 55!!, \quad 57!!, \quad 59!!, \quad 61!!, \dots $
Áp dụng: Tìm 3 chữ số tận cùng của tích: $$A=3.5.7.9…2023$$
Ta có $A=2023!!$ là tích của 1012 số nguyên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2023. Vì $1012$ chia hết cho 4 nên 3 chữ số tận cùng của A là $625$.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
