Bài toán ngược

Đặt $BC=a, AC=b, AB=c$.
 
Ta có: $S_{ABC}=\dfrac12a.h_a=b.h_b=c.hc ⇒ \left\lbrace\begin{array}{l}c=\dfrac{ah_a}{h_c}\\
b=\dfrac{ah_a}{h_b}\end{array} \right. \quad (1)$

Trong tam giác $ABC$ ta có: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\quad (2)$ và $a=2R\sin A$

Lấy $b$ và $c$ ở (1) thay vào (2) ta có: $a^2=a^2h_a^2\left(\dfrac{1}{h_b^2}+\dfrac{1}{h_c^2}-2\dfrac{\cos A}{h_bh_c}\right)$
 

$⇔ 1=h_a^2\left(\dfrac{1}{h_b^2}+\dfrac{1}{h_c^2}-2\dfrac{\cos A}{h_bh_c}\right)$

Dùng Solver giải phương trình tìm $x=\cos A ⇒ \widehat{BAC}= $
 
lưu vào A.
 

$BC=$ lưu vào B.

$AB=$

$AC=$
 
 

Gọi $M, N, P$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (I) và các cạnh $AB, BC, CA$ và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp. Trong tam giác vuông $AMI$ ta có: $\sin \dfrac{\widehat{A}}{2}=\dfrac{r}{IA} ⇒ \dfrac{\widehat{A} }{2}=\arcsin \dfrac{r}{5,6}$. Tương tự: $\dfrac{\widehat{B} }{2}=\arcsin\dfrac{r}{6,11}$. $\dfrac{\widehat{C} }{2}=\arcsin\dfrac{r}{3,78}$. Vì $\dfrac{\widehat{A} }{2}$ phụ với $\dfrac{\widehat{B} }{2}+\dfrac{\widehat{C} }{2}$ nên $\sin \dfrac{\widehat{A}}{2}=\cos \left(\dfrac{\widehat{B} }{2}+\dfrac{\widehat{C} }{2}\right) $

Giải phương trình tìm $r$:

lưu vào A.

Vậy $BC=BN+NC=\sqrt{IB^2-r^2}+\sqrt{IC^2-r^2}$

Tương tự: $AB=$

$AC=$

Trong tam giác $ABH$ đường phân giác trong $AK$ ta có: $$\dfrac{KH}{KB}=\dfrac{AH}{AB}$$ Trong tam giác $AHB$ vuông tại $H$, ta có: $$\cos \widehat{A} =\dfrac{AH}{AB}$$ Vậy $\cos \widehat{A}=\dfrac{KH}{KB} ⇒ \widehat{A}= $

lưu vào A.
 
Trong tam giác $AHB$ vuông tại $H$, ta có: $AB=\dfrac{BH}{\sin A}=$ lưu vào B.

Áp dụng định lý Mê-nê-la-uyt vào tam giác $ADC$ cát tuyến $BKH$ ta có: $$\dfrac{K\color{blue}A}{K\color{red}D}.\dfrac{B\color{blue}D}{B\color{red}C}.\dfrac{H\color{blue}C}{H\color{red}A}=1 \quad \left\lbrace\begin{array}{l}HA=\sqrt{AB^2-BH^2} \\
AK=\sqrt{AH^2+KH^2}\\
\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}
\end{array} \right. $$

$AH=$ lưu vào C, $AK=$ lưu vào D.
 
Mở Solver giải phương trình theo biến $x=AC$ bằng cách thay các giá trị vào đẳng thức “Mê-nê-la-uyt”:
, nghiệm tự động lưu vào x.
 

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2-2.AB.AC\cos \widehat{A} }$
 

Kết luận: $$BC=7,45\ \text{cm}; \ AB= 6,03\ \text{cm}\ ; \ AC= 7,63\ \text{cm}. $$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).

Bài viết liên quan

Dùng bảng tính để phát hiện 3 chữ số tận cùng của số $(2n-1)!!\ (n \geqslant 16)$

2 tuần Trước

Phép giải tam giác: trung tuyến – đường cao (bài 2)

4 tuần Trước

Tìm dư của phép chia số $(a+\sqrt{b})^n+(a-\sqrt{b})^n\quad (n \geqslant 2025)$ cho $c$

06/10/2025

Lớp bồi dưỡng GV phụ trách đội tuyển HSGMT

14/09/2025

Tìm dư của phép chia số $\boldsymbol{(2+\sqrt5)^{2025}+(2-\sqrt5)^{2025}}$ cho $\boldsymbol{3456}$.

03/09/2025

Hệ phương trình đồng dư

30/08/2025