BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Tìm 9 chữ số cuối cùng của tổng 1+11+111+1111+...
- 19/11/2024
- 910 lượt xem
| Tìm 9 chữ số cuối cùng của tổng$$A=1+11+111+1111+\dots +\underbrace{1111…1111}_{2025\ \text{chữ số 1} }$$ |
$A=\dfrac19\left[9+99+999+9999+\dots +\underbrace{9999…9999}_{2025\ \text{chữ số 9} }\right]$
$A=\dfrac19\left[(10^1-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+(10^4-1)+\dots +(10^{2025}-1)\right]$
$A=\dfrac19(B-2025)$, với
$\qquad \quad \ \ B=10^1+10^2+10^3+10^4+\dots +10^{2025}\qquad (1)$
Ta có: $10B=10^2+10^3+10^4+\dots +10^{2025}+10^{2026}\quad (2)$
Lấy (2) trừ (1) ta có: $9B=10^{2026}-10⇔ B=\dfrac{10^{2026}-10}{9}$.
Vậy $A=\dfrac{10^{2026}-18325}{81}=\dfrac{\overbrace{9999…9999}^{2021\ \text{chữ số}\ 9 }81765}{81}$.
Nhận xét: Nếu ta lấy một số gồm 10 chữ số 9 chia cho 81 thì thương là 123456790 và dư là 9 
Sau đó ta nạp thêm 9 chữ số 9 nữa vào dư thành số có 10 chữ số 9 nên chia tiếp cho 81 thương và dư như trên.
Nghĩa là $\underbrace{9999999999999999999}_{9\times 2+1\ \text{chữ số }\ 9} \div 81$ thương là $\underbrace{(123456790)}_{2\ \text{lần}}$ và dư là 9.
Tổng quát lên
$\underbrace{9999\dots 9999}_{2017=224\times 2+1\ \text{chữ số }\ 9} \div 81$ thương là $\underbrace{(123456790)}_{224\ \text{lần}}$ và dư là 9.
$\overbrace{9999…9999}^{2021\ \text{chữ số}\ 9 }81765=
\overbrace{9999…9999}^{2017\ \text{chữ số}\ 9 }999981765$
Lấy số gồm 2017 chữ số 9 chia cho 81 thương sẽ là $\underbrace{(123456790)}_{224\ \text{lần}}$ lấy dư 9 ghép với 999981765 chia hết cho 81 thương sẽ là
Đó là 9 chữ số cuối cùng cần tìm của A.
Ngoài ra $$A=\underbrace{(123456790)}_{224\ \text{lần}}123456565$$
|
Cách 2: Cách làm “bình dân” dành cho học sinh.
|
| Có 2025 số 1 ở hàng đơn vị, tổng của chúng là 2025, viết số 5 vào hàng đơn vị của tổng và nhớ 202 (chục). Có 2024 số 1 ở hàng chục, tổng của chúng là 2024 cộng với nhớ 202 (chục) thành 2226 (chục) , viết số 6 vào hàng chục của tổng và nhớ 222 (trăm). Có 2023 số 1 ở hàng trăm, tổng của chúng là 2023 cộng với nhớ 222 (trăm) thành 2245 (trăm) , viết số 5 vào hàng trăm của tổng và nhớ 224 (nghìn). |
Có 2022 số 1 ở hàng nghìn, tổng của chúng là 2022 cộng với nhớ 224 (nghìn) thành 2246 (nghìn) , viết số 6 vào hàng nghìn của tổng và nhớ 224 (chục nghìn).
Có 2021 số 1 ở hàng chục nghìn, tổng của chúng là 2021 cộng với nhớ 224 (chục nghìn) thành 2245 (chục nghìn) , viết số 5 vào hàng chục nghìn của tổng và nhớ 224 (trăm nghìn).
Có 2020 số 1 ở hàng trăm nghìn, tổng của chúng là 2020 cộng với nhớ 224 (trăm nghìn) thành 2244 (trăm nghìn) , viết số 4 vào hàng trăm nghìn của tổng và nhớ 224 (triệu).
Có 2019 số 1 ở hàng triệu, tổng của chúng là 2019 cộng với nhớ 224 (triệu) thành 2243 (triệu) , viết số 3 vào hàng triệu của tổng và nhớ 224 (chục triệu).
Có 2018 số 1 ở hàng chục triệu, tổng của chúng là 2018 cộng với nhớ 224 (chục triệu) thành 2242 (chục triệu) , viết số 2 vào hàng chục triệu của tổng và nhớ 224 (trăm triệu).
Có 2017 số 1 ở hàng trăm triệu, tổng của chúng là 2017 cộng với nhớ 224 (trăm triệu) thành 2241 (trăm triệu) , viết số 1 vào hàng trăm triệu của tổng và nhớ 224 (tỉ).
v.v…
Vậy 9 chữ số cuối cùng của tổng là 123456565.
| Nhận xét: Nếu chỉ tìm 3 chữ số cuối cùng thì cách làm “bình dân” này nhanh chóng cho ra kết quả là 565 . |
|
Thao tác (của cách làm trên) trên bảng tính.
|
Mở một bảng tính trên máy tính Casio fx-880BTG.
Cột A. Dùng điền công thức để đánh số từ 2025 giảm xuống 2017, B1 tách phần nguyên của phép chia 2025 cho 10 (làm “nhớ”), C1 (xem hình đầu tiên ở dưới) tách dư của phép cho 2025 cho 10 (viết vào kết quả).
Cột B. Điền công thức vào B2 phạm vi B2:B9 để lấy A2+”nhớ”, chia cho 10 để tách lấy thương (làm “nhớ”) và lấy dư (xem hình đầu của hình kế tiếp bên dưới) đặt vào C2 (viết vào kết quả):
Cột C là kết quả:
Sau đây là file LaTeX thực hiện phép tính:
 |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
