BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Đa thức với các hệ số là số tự nhiên
- 25/11/2024
- 694 lượt xem
| Bài toán Cho đa thức $P(x)$ có tất cả các hệ số đều là số tự nhiên, nhỏ hơn $5$, thỏa mãn điều kiện $P(5)=259$. Tính $P(2025)$. |
Giả sử đa thức cần tìm có dạng: $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\quad \text{với}\ a_n \ne 0 .$$
Khai thác hai giả thiết:
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}a_i \in \mathbb{N}, a_i <5 \quad (i=0,1,2,3,\dots , a_n) &(1)\\
P(5)=259&(2)\end{array} \right. $$
Do giả thiết (1) ta suy ra $P(x)<5(x^n+x^{n-1}+\dots +x^2+x+1)$
Nhận xét: $x^n+x^{n-1}+\dots +x^2+x+1=\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}\qquad $ (xem chứng minh ở dưới)
Vậy $P(x)<5\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1} ⇒ P(5)=259<\dfrac{5^{n+2}-5}{4}$.
Giải bất phương trình ta có $n>2,32$ 
. Vì n là số tự nhiên nên $n \geqslant 3$. ta chứng minh $n=3$.
Thậy vậy nếu $n\geqslant 4$ thì $\underbrace{P(5)\geqslant a_n.5^n}_{P(5)=a_n5^n+a_{n-1}5^{n-1}+\dots }\geqslant 5^4$ (vì $a_n \geqslant 1, n\geqslant 4$). Vô lý vì $P(5)=259\ \text{và}\ 5^4=625$.
Vậy $n=3$ và $P(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$.
$259=P(5)=125a_3+25a_2+5a_1+a_0\geqslant 125a_3 \quad ⇒ a_3 \leqslant \dfrac{259}{125}$ 
Nếu $a_3=1 ⇒ 25a_2+5a_1+a_0=259-125=134 \quad \text{vô lý vì VT} \leqslant 124$ (do $a_2, a_1, a_0 \leqslant 4$).
Vậy $a_3=2 ⇒ 25a_2+5a_1+a_0=259-250=\underbrace{9 \geqslant 25a_2}_{a_2 \leqslant \frac{9}{25}}\quad ⇒ a_2=0 ⇒ 5a_1+a_0=9 ⇒ \left\lbrace\begin{array}{l}a_1=1\\ a_0=4\end{array} \right. $
(tổng của các số không âm luôn luôn lớn hơn hay bằng số hạng đầu tiên!)
Kết luận $P(x)=2x^3+x+4$.
$P(2025)=16607533279$ 
 |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
