Tìm 2 chữ số a và b thỏa điều kiện.

Đặt $x=\overline{ab}$. Vì $x^5$ có $10$ chữ số nên $10^9\leqslant x^5<10^{10}$.
 
Suy ra $\sqrt[5]{10^9}\leqslant x<\sqrt[5]{10^{10}}$ \png{phuluc4a}.
 
Vậy $64\leqslant x \leqslant 99$.
 
Ta tìm các số tự nhiên $x$ từ $64$ đến $99$ sao cho $x^5 \equiv x \quad (\text{mod}\ 100)$ tương đương với $x^5-x \equiv 0 \quad (\text{mod}\ 100)$, nghĩa là $x^5-x$ chia hết cho $100$.

Ta dùng phương thức lập bảng giá trị cho một hàm số , phạm vi . Kết quả
 

 
.

Vậy các số cần tìm là $68, 75, 76, 93, 99$.
 
 
 

Cách khác để tham khảo.
 

Giả sử số cần tìm là $10a+b$. Ta có $(b+10a)^5=b^5+5b^4.10a+\underbrace{10b^3(10a)^2+10b^2(10a)^3+5b(10a^4)+(10a)^5}_{\text{không chứa chữ số chục và chữ số đơn vị} }$.
 
Vậy chữ số chục và chữ số đơn vị của $(10a+b)^5$ được chứa trong $b^5+50b^4a$. Ta sẽ tìm các chữ số $a$ và $b$ sao cho chữ số đơn vị và chữ số chục của $b^5+50b^4a$ lập thành một số trùng với $10a+b$. Nghĩa là $$b^5+50b^4a \equiv 10a+b\ (\text{mod}\ 100)$$
Ngoài ra vì $(10a+b^5)$ có 10 chữ số nên $(10a+b)^5\geqslant 10^9 ⇔ 10a+b \geqslant $ do đó $a \geqslant 6$.

Mở một bảng tính, cột A ta lần lượt nhập các số 6,7,8,9, cột B ta đánh số từ $0$ tới $9$, cột C điền công thức $\dfrac{b^5+50b^4a -(10a+b)}{100}$. Nết kết quả ở cột C là số nguyên thì thì cặp $a, b$ tương ứng là đáp số.

.

Ta có 5 số cần tìm $68, 75, 76, 93, 99$.
 

PS. Tất nhiên ta còn kiểm tra các số tìm được lũy thừa 5 lên có đúng 10 chữ, vì điều kiện $a\geqslant 6$ chỉ nói lên rằng số lũy thừa 5 có ít nhất 10 chữ số.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).