Tìm 2 chữ số a và b thỏa điều kiện.

Giả sử số cần tìm là $10a+b$. Ta có $(b+10a)^5=b^5+5b^4.10a+\underbrace{10b^3(10a)^2+10b^2(10a)^3+5b(10a^4)+(10a)^5}_{\text{không chứa chữ số chục và chữ số đơn vị} }$.
 
Vậy chữ số chục và chữ số đơn vị của $(10a+b)^5$ được chứa trong $b^5+50b^4a$. Ta sẽ tìm các chữ số $a$ và $b$ sao cho chữ số đơn vị và chữ số chục của $b^5+50b^4a$ lập thành một số trùng với $10a+b$. Nghĩa là $$b^5+50b^4a \equiv 10a+b\ (\text{mod}\ 100)$$
Ngoài ra vì $(10a+b^5)$ có 10 chữ số nên $(10a+b)^5\geqslant 10^9 ⇔ 10a+b \geqslant $ do đó $a \geqslant 6$.

Mở một bảng tính, cột A ta lần lượt nhập các số 6,7,8,9, cột B ta đánh số từ $0$ tới $9$, cột C điền công thức $\dfrac{b^5+50b^4a -(10a+b)}{100}$. Nết kết quả ở cột C là số nguyên thì thì cặp $a, b$ tương ứng là đáp số.

.

Ta có 5 số cần tìm $68, 75, 76, 93, 99$.
 

PS. Tất nhiên ta còn kiểm tra các số tìm được lũy thừa 5 lên có đúng 10 chữ, vì điều kiện $a\geqslant 6$ chỉ nói lên rằng số lũy thừa 5 có ít nhất 10 chữ số.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).