Hệ phương trình đề Việt Trì, Phú Thọ 2016

Đề bài: Giải hệ phương trình sau

[latex]\begin{cases} 4x^{2}+y-x-9=\sqrt{1+3x}+\sqrt{y+x^{2}+5x-8} & (1)\\ x^{4}+x^{3}-11x^{2}+y^{2}+(y-12)x=12-y & (2) \end{cases}[/latex]

Giải

Phân tích phương trình thứ (2) bằng cách SOLVE lập bảng hoặc SOLVE [latex]y=100[/latex], ta được [latex]y=12-x^2[/latex].

Chia phương trình thứ (2) cho nhân tử [latex]x^2+y-12[/latex], ta được:

[latex]\begin{array}{l}{x^4} + {x^3} – 11{x^2} + {y^2} + (y – 12)x = 12 – y\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {y – 12 + {x^2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow y = 12 – {x^2}
\end{array}[/latex]

Thay vào phương trình (1), ta được:

[latex]\begin{array}{l}
3{x^2} – x + 3 = \sqrt {3x + 1} + \sqrt {5x + 4} \\
\Leftrightarrow 3({x^2} – x) + \left( {x + 1 – \sqrt {3x + 1} } \right) + \left( {x + 2 – \sqrt {5x + 4} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} – x} \right)\left( {3 + \frac{1}{{x + 1 + \sqrt {3x + 1} }} + \frac{1}{{x + 2 + \sqrt {5x + 4} }}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x = 0 \vee x = 1
\end{array}[/latex]

Vậy phương trình có nghiệm [latex](x;y)=(0;12),(x;y)=(1;11)[/latex].
Ghi chú: Việc tìm một biểu thức liên hợp có thể coi Các phương pháp sử dụng máy tính Casio giải phương trình vô tỷ. 

About Toán Casio