Đa thức có NGHIỆM PHỨC

Bài 1: Cho đa thức [latex]P\left ( x \right )[/latex] có bậc 7, hệ số bậc 7 là 5 thỏa:

[latex]P\left ( 1 \right )=2013;P\left ( 2 \right )=4704; P\left ( 3 \right )=8749; P\left ( 4 \right )14154; P\left ( 5 \right )=61845[/latex]

Và [latex]P\left ( x \right )[/latex] chia hết cho [latex]x^{2}+x+1[/latex].

a. Tính [latex]P\left ( 2015 \right )[/latex]

b. Tìm các hệ số của [latex]P\left ( x \right )[/latex]

Bài giải:

Gọi đa thức [latex]P\left ( x \right )[/latex] cần tìm là

[latex]P\left ( x \right )=\left ( x^{2} +x+1\right )\left ( 5x^{5}+Ax^{4} +Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E\right )[/latex]

Tính giá trị tại [latex]x=1;x=2;x=3;x=4;x=5[/latex]

[latex]x=1:A+B+C+D+E=666[/latex]

[latex]x=2:16A+8B+4C+2D+E=512[/latex]

[latex]x=3:81A+27B+9C+3D+E=-542[/latex]

[latex]x=4:256A+64B+16C+6D+E=-4446[/latex]

[latex]x=5:625A+125B+25C+5D+E=-13630[/latex]

Giải hệ phương trình trên ta được:

[latex]P\left ( x \right )=\left ( x^{2}+x+1 \right )\left ( 5x^{5}-20x^{4}-125x^{3}+800x^{2}-1379x+1390 \right )[/latex]

Nhân phân phối ta được:

[latex]P\left ( x \right )=5x^{7}-15x^{6}-140x^{5}+655x^{4}-704x^{3}+811x^{2}+11x+1390[/latex]

Bài 2: Cho đa thức [latex]P\left ( x \right )[/latex] có bậc 7, hệ số bậc 7 là 5 thỏa:

[latex]P\left ( 1 \right )=2013;P\left ( 2 \right )=4704; P\left ( 3 \right )=8749; P\left ( 4 \right )14154; P\left ( 5 \right )=20925[/latex]