Diện tích phần chung của hai hình tròn

Chuyển đổi đơn vị đo góc sang radian (ngay cả đối với học sinh THCS).
 
Công thức:

với $A=\arccos\dfrac{r^2+d^2-R^2}{2rd}, B=\arccos\dfrac{R^2+d^2-r^2}{2Rd}$ (đo bằng rađian).

Ta lấy diện tích hình tròn tâm $(O)$ là $S_O=\pi r^2$ trừ đi diện tích $S_1$ của phần nằm ngoài đường tròn $(I)$.

$S=S_O-\left[S_{\text{quạt}\ O}-S_{\text{viên phân}\ I}-S_{OAB}\right]=
S_O-\left[S_{\text{quạt}\ O}-S_{\text{quạt}\ I}+S_{IAB}-S_{OAB}\right]$

Ta có: $\left\lbrace\begin{array}{l}S_{\text{quạt}\ O}=r^2(\pi-A) \ \text{với}\ A=\arccos\dfrac{r^2+d^2-R^2}{2rd}\\
S_{\text{quạt}\ I}=R^2B\ \text{với}\ B=\arccos\dfrac{R^2+d^2-r^2}{2Rd}\\
S_{IAB}-S_{OAB}=2S_{OAI}=\dfrac{d^2}{\cot A+\cot B}\end{array} \right. $.
 

Vậy diện tích phần chung của hai hình tròn trong trường hợp này bằng:
$$S=r^2A+R^2B-\dfrac{d^2}{\cot A+\cot B}$$
 

Ta có: $$S=2S_1=2\left[\pi r^2-\left(r^2A+R^2B-\dfrac{d^2}{\cot A+\cot B}\right)\right]$$
Trong đó $r=\dfrac{\text{cạnh hình vuông} }{2}=3\ \text{cm}$, $R=6\ \text{cm}$, $d=OB=\dfrac{\text{cạnh hình vuông}\sqrt2}{2}=3\sqrt2\ \text{cm}.$

Tính $A$ và $B$ (bằng radian) trong công thức lần lượt lưu vào biến nhớ A và B.

Diện tích phần tô màu bằng

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).