Nhận xét về bài toán tìm 4 chữ số tận cùng của số $A=2023^{2024}+2025^{2024}$

Duyệt qua các bài toán cùng kiểu câu hỏi:
 

Hai bài cuối có chung yêu cầu “nhiều mũ”, hai bài đầu có chung yêu cầu “$a^n$” (với $n$ là ”năm thi”).
 

Với bài thứ ba ta đặt thừa số chung $A=3^{2019}(1+3+3^2)=13.3^{2019}$ (“một mũ”).
 
Với bài thứ tư $P=73^{2014}.37^{2024}.37=(73.37)^{2014}.37$. Vì $73.37 \equiv 1\ (\text{mod}\ 100)$ nên $P\equiv 37\ (\text{mod}\ 100)$.
 
 

Ta có nhận xét: $2025^{2^n}\equiv 625\ (\text{mod}\ 10^4) $ nên $$2025^{2024}\equiv 625 \ (\text{mod}\ 10^4)$$
 

Như vậy, bài toán của chúng ta vẫn là bài toán quen thuộc:
 

Có một thuật toán chung để tính $a^n$, tuy nhiên ở đây vì $2024=2^{10}+10^3$ nên ta sử dụng “thuật toán riêng” .
 

1. Tính $2023^{1000}=((((((2023)^2)^2)^2)^5)^5)^5$
 
Lưu $2023$ vào Ans và $10^4$ vào y (cho gọn).
 

 
Nhập biểu thức rồi nhấn OK 3 lần .
 
Điều chỉnh biểu thức rồi nhấn OK 3 lần .
 

Vậy $$2023^{1000} \equiv 1 \ (\text{mod}\ 10^4)$$
 

2. Tính $2023^{1024}=2023^{2^{10}}$.

 
Lặp lại việc lưu $2023$ vào Ans và $10^4$ vào y.
 

Nhập biểu thức rồi nhấn OK 10 lần .
 
Vậy $2023^{1024}\equiv 9041 \ (\text{mod}\ 10^4)$, suy ra
$$2023^{2024}\equiv 9041 \ (\text{mod}\ 10^4).$$
 

Kết luận: 4 chữ số tận cũng của số $A=2023^{2024}+2025^{2024}$ là
 

Đối chiếu với Geogebra:
 

 

Dùng một công cụ tính toán mạnh, kết quả cụ thể của phép tính với tất cả các chữ số là:
 

code $\rm \LaTeX$

 
File PDF tạo thành:
 

Loading...

Taking too long?

Reload document

| Open in new tab

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).