Tìm dư của phép chia số $A=(2+\sqrt5)^{2025}+(2-\sqrt5)^{2025}$ cho 24

Đặt $u_n=(2+\sqrt5)^n+(2-\sqrt5)^n$. Ta có:
 
$u_1=4$

$u_2=18$

$u_n=Su_{n-1}-Pu_{n-2}\quad (n \geqslant 3)$ với $S$ và $P$ lần lượt là tổng và tích của hai cơ số $2+\sqrt5\ ; \ 2-\sqrt5$. (xem chứng minh ở bài viết chuyển thành biểu thức quy nạp).
 

Vậy $\fbox{$u_n=4u_{n-1}+u_{n-2}\quad (n \geqslant 3)$}$.
 

Ta tìm dư của phép chia số $u_n$ cho $24$. Ta thấy dư của phép chia $u_1, u_2$ cho $24$ lần lượt là $4$ và $9$. Ta tìm dư của phép chia số $u_n\ (n \geqslant 3)$ cho 24 trên máy tính cầm tay như sau:
 

 

 
bấm tiếp tục sẽ được $4, 18, 4, 10, 20, 18, 20, 2 \dots $
 
Ta liệt kê kết quả như sau:
$4, 18, 4, 10, 20, 18, 20, 2, $ $4, 18, 4, 10, 20, 18, 20, 2, $ $4, 18, 4, 10, 20, 18, 20, 2, \dots $
 

Tham khảo thêm cách thao tác trên bảng tính:
 

 

Ta thấy kết quả xuất hiện tuần hoàn với chu kỳ 8, vì $2025$ chia cho $8$ sẽ có dư là nên kết quả thứ $2025$ chính là kết quả thứ $1$.
 

Do đó dư của phép chia số $A=(2+\sqrt5)^{2025}+(2-\sqrt5)^{2025}$ cho $24$ là $4$.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).