BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Hai cách làm tổng quát cho bài toán tìm hệ số trong khai triển Nhị thức Newton
- 28/10/2017
- 23,818 lượt xem
Hai cách làm tổng quát cho bài toán tìm hệ số trong khai triển Nhị thức Newton
Tìm hệ số của [latex]x^8[/latex] trong khai triển [latex]{\left( {1 – 2x + 5{x^2}} \right)^{20}}[/latex]
Cách 1:
Ta có:
[latex]\begin{array}{l} {\left( {1 – 2x + 5{x^2}} \right)^{20}} = {\left[ {\left( {5{x^2} – 2x} \right) + 1} \right]^{20}}\\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k{{\left( {5{x^2} – 2x} \right)}^k}{{.1}^{20 – k}}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{x^k}C_{20}^k{{\left( {5x – 2} \right)}^k}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {\left[ {{x^k}C_{20}^k\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{{\left( {5x} \right)}^i}{{\left( { – 2} \right)}^{k – i}}} } \right]} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {\left[ {\sum\limits_{i = 0}^k {C_{20}^kC_k^i{5^i}{{\left( { – 2} \right)}^{k – i}}{x^{k + i}}} } \right]} \end{array}[/latex]
Số hạng của [latex]x^8[/latex] tương ứng với:
[latex]\left\{ \begin{array}{l} k + i = 8\\ 0 \le k \le 18\\ 0 \le i \le k \end{array} \right. \Rightarrow \left( {k;i} \right) \in \left\{ {\left( {8;0} \right);\left( {7;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {4;4} \right)} \right\}[/latex]Vậy hệ số của [latex]x^8[/latex] trong khai triển là:
[latex]\begin{array}{l} {2^8}C_{20}^8 + {2^6}.5.C_{20}^7.C_7^1 + {2^4}{.5^2}.C_{20}^6.C_6^2 + {2^2}{.5^3}.C_{20}^5.C_5^3 + {5^4}.C_{20}^4.C_4^4\\ = 32248320 + 173644800 + 232560000 + 77520000 + 3028125\\ = 519001245 \end{array}[/latex]↵Tính toán: Cách tính toán nhanh nhất là sử dụng phím CALC.
Cách 2: Số hạng tổng quát trong khai triển [latex]{\left( {1 – 2x + 5{x^2}} \right)^{20}}[/latex] [latex]\begin{array}{l} = \dfrac{{20!}}{{{n_1}!{n_2}!{n_3}!}}{.1^{{n_1}}}.{\left( { – 2x} \right)^{{n_2}}}.{\left( {5{x^2}} \right)^{{n_3}}}\\ = \dfrac{{20!}}{{{n_1}!{n_2}!{n_3}!}}.{\left( { – 2} \right)^{{n_2}}}.{\left( 5 \right)^{{n_3}}}.{x^{{n_2} + 2{n_3}}} \end{array}[/latex]
Ta có hệ phương trình:
[latex]\left\{ \begin{array}{l} {n_1} + {n_2} + {n_3} = 20\\ {n_2} + 2{n_3} = 8 \end{array} \right.[/latex]
Được các bộ số của [latex]\left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)[/latex] :[latex]\left( {16;0;4} \right);\left( {15;2;3} \right);\left( {14;4;2} \right);\left( {13;6;1} \right);\left( {12;8;0} \right)[/latex]
Được hệ số của [latex]x^8[/latex] là:
[latex]\begin{array}{l} \dfrac{{20!}}{{16!.0!.4!}}.{\left( { – 2} \right)^0}{.5^4} + \dfrac{{20!}}{{15!.2!.3!}}.{\left( { – 2} \right)^2}{.5^3} + \dfrac{{20!}}{{14!.4!.2!}}.{\left( { – 2} \right)^4}{.5^2} + \\ + \dfrac{{20!}}{{13!.6!.1!}}.{\left( { – 2} \right)^6}{.5^1} + \dfrac{{20!}}{{12!.8!.0!}}.{\left( { – 2} \right)^8}{.5^0}\\ = 3028125 + 77520000 + 232560000 + 173644800 + 32248320\\ = 519001295 \end{array}[/latex]
Tính toán: Cách nhanh nhất là khai thác sự hỗ trợ của phím CALC.
About Bitex Casio
