Bài toán chia kẹo Euler

Giải thích:
– Ta có \( n \) cái kẹo xếp thành hàng, tạo ra \( n-1 \) khoảng trống giữa chúng.
– Chọn \( k-1 \) khoảng trống để chia thành \( k \) phần (tương ứng với \( k \) đứa trẻ).
– Mỗi cách chọn $k-1$ khoảng trống từ $n-1$ khoảng trống tương ứng với một cách chia kẹo.
 
3. Ví dụ minh họa
 
Chia 5 cái kẹo cho 3 đứa trẻ, mỗi đứa ít nhất một cái.

 
– Áp dụng công thức:
\[ C_{5-1}^{3-1} = C_4^2 = 6 \text{ cách} \] – Các cách chia:
– (1, 1, 3)
– (1, 2, 2)
– (1, 3, 1)
– (2, 1, 2)
– (2, 2, 1)
– (3, 1, 1)

 
4. Mở rộng bài toán
cho trường hợp cho phép có đứa trẻ không nhận kẹo.
 
Nếu mỗi đứa trẻ có thể nhận 0 cái kẹo, ta đặt \( y_i = x_i + 1 \), khi đó:
\[ y_1 + y_2 + \dots + y_k = n + k \] Số cách chia là:
\[ C_{n + k – 1}^{k – 1} \]

Ví dụ:
Chia 5 cái kẹo cho 3 đứa trẻ, có thể có đứa không nhận kẹo.
\[ C_{5 + 3 – 1}^{3 – 1} = C_7^2 = 21 \text{ cách} \]  
6. Áp dụng vào bài thi Tốt nghiệp THPT 2025.
 

 
Gọi $a, b, c, d$ là số sách lần lượt được xếp vào ngăn $1, 2, 3, 4$.
 
Ta có $a+b+c+d=8$.

Mỗi một cách xếp là một nghiệm nguyên dương của phương trình $x_1+x_2+x_3+x_4=8$. Theo Bài toán “chia kẹo Euler” (Euler’s Candy Division Problem) ta có số cách xếp là $C^{k-1}_{n-1}$, ở đây $k=4, n=8$.

Sau mỗi cách xếp ta hoán vị các quyển sách (các viên kẹo thì giống nhưng các quyển sách thì khác nhau). Vậy số tất cả cách xếp 8 quyển sách vào 4 ngăn là: $T=C^3_7\times 8!$.
 
$\dfrac{T}{600}=$
 
Kết quả: 2352.
 
7. Kết luận
Bài toán chia kẹo Euler là một dạng toán tổ hợp quan trọng, giúp rèn luyện tư duy đếm và áp dụng tổ hợp vào thực tế. Hiểu rõ công thức và các trường hợp mở rộng sẽ giúp giải quyết nhiều bài toán tương tự.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).