BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Quy tắc thực hành tìm tổng các nghiệm của phương trình lượng giác trên một đoạn
- 27/08/2025
- 744 lượt xem
| Xét phương trình $a\cos^3x+b\cos^2x+c\cos x+d=0$. Giả sử phương trình bậc ba có 3 nghiệm $A, B, C$ (không bị loại), sắp thứ tự $\ C<B<A$. Trên đoạn $[0;2\pi]$ phương trình có 6 nghiệm (có tổng là $6\pi$) như trong hình. Nếu $C=-1$ thì 6 nghiệm suy biến thành 5 nghiệm và tổng thành $5\pi$. |
 |
$\arccos A$ là nghiệm nhỏ nhất, $2\pi -\arccos A$ là nghiệm lớn nhất trên chu kỳ đầu tiên. |
|
LÝ THUYẾT
(Tất cả lý thuyết đều là màu xám) |
Ta xét trường hợp 5 nghiệm (trường hợp 6 nghiệm thực hành tương tự).
Ta quy ước $[0;2\pi]$ là chu kỳ dương đầu tiên. Khi đó tổng của 5 nghiệm trên một chu kỳ tùy ý là $5\pi +10k\pi$.
Bài toán đề cập đến đoạn $[a;b]$ ta giả sử là đoạn $[200;300]$. Ta chia đoạn này thành nhiều chu kỳ,
. Vậy đoạn $[200;300]$ được chia thành 15 chu kỳ trọn vẹn và 1 chu kỳ khuyết. Trong đó chu kỳ đầu tiên được xác định bới $k=$ 
, ví dụ: 
.
Vậy ta xét $k$ chạy từ $32$ đến $32+15$ (tức là 16 chu kỳ, kể cả chu kỳ khuyết).
Còn một việc nữa: Ta muốn biết nghiệm lớn nhất của chu kỳ thứ 31 và của chu kỳ thứ 47 (khuyết) có thuộc $[200;300]$ không?
(có) , ta lưu vào x. 
(không ) , ta lưu vào y.
Kết quả: 
Nếu bài toán phức tạp (hoặc nếu cần) ta còn phải xét các nghiệm “lớn nhì”. Nếu CÓ thì cộng vào, ngược lại thì trừ ra khỏi tổng.
|
THỰC HÀNH
(Chỉ có cây đời là mãi mãi xanh tươi) |
 |
Bước 1:
Xét phương trình $-4\cos^3x-2\cos^2x+3\cos x+1=0$
lần lượt lưu vào A, B, C theo thứ tự giảm dần.
Bước 2:
Cận dưới của tổng và số chu kỳ (để biết cận trên của tổng) 
$32 – 47$.
Kiểm tra nghiệm lớn nhất của chu kỳ 31: 
(CÓ) lưu vào X để cộng vào tổng.
Không cần kiểm tra thêm nghiệm “lớn nhì” vì 2 nghiệm này cách nhau khoảng $1,26$ nên nghiệm “nhỏ nhì” chắc chắc nhỏ hơn 200.
Kiểm tra thêm nghiệm lớn nhất của chu kỳ khuyết 47: 
lưu nghiệm lớn nhất vào Y (để trừ ra).
Không cần kiểm tra thêm nghiệm “lớn nhì” vì 2 nghiệm này cách nhau khoảng $1,26$ nên nghiệm “lớn nhì” chắc chắc nhỏ hơn 300.
Bước 3:
Kết quả:
 |
$2\sin^2x+\sin 3x=1 ⇔ -4\sin^3x+2\sin^2x+3\sin x-1=0$.
.
 |
Nghiệm dương ta lưu vào A, nghiệm âm ta lưu vào B. Trong chu kỳ đầu tiên $[0;2\pi]$ nghiệm nhỏ nhất là $\arcsin A$ và nghiệm lớn nhất là $2\pi +\arcsin B$. Năm nghiệm cộng lại là $\dfrac{9\pi}{2}$. Do đó tổng của 5 nghiệm trên một chu kỳ bất kỳ là $\dfrac{9\pi}{2}+10k\pi$.
Vậy $k$ chạy từ $16$ đến $31$. |
.Xét nghiệm lớn nhất trong chu kỳ thứ $15$ và trong chu kỳ khuyết (thứ 31): 
.
Nghiệm lớn nhất trong chu kỳ thứ $15$ không thuộc đoạn $[100;200]$ nên không cộng thêm vào tổng, nghiệm lớn nhất trong chu kỳ khuyết (thứ $31$) không thuộc đoạn $[100;200]$ nên trừ ra (vì đã cộng nó trong tổng). Kết quả: 
About TS. Nguyễn Thái Sơn
